Question

記函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镈，若存在x₀∈D，使f（x₀）=x₀成立，則稱以（x₀，x₀）為坐標(biāo)的點(diǎn)為函數(shù)f（x）圖象上的不動(dòng)點(diǎn)．
（1）若函數(shù)f（x）=

3x+a

x+b

的圖象上有兩個(gè)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的不動(dòng)點(diǎn)，求a，b應(yīng)滿足的條件；
（2）下述結(jié)論“若定義在R上的奇函數(shù)f（x）的圖象上存在有限個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，則不動(dòng)點(diǎn)有奇數(shù)個(gè)”是否正確？若正確，請(qǐng)給予證明，并舉出一例；若不正確，請(qǐng)舉出一反例說(shuō)明．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由f(x)=

3x0+a

x0+b

=x0，化為

x

2 0

+(b-3)x0-a=0（*），由題意知方程（*）有兩個(gè)互為相反數(shù)的根，即可得出．
（2）結(jié)論正確．由于（0，0）為函數(shù)的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，設(shè)函數(shù)f（x）除0以外還有不動(dòng)點(diǎn)（x，x）（x≠0），可得（-x，-x）也是不動(dòng)點(diǎn)．

解答： 解：（1）由f(x)=

3x0+a

x0+b

=x0，
整理得 

x

2 0

+(b-3)x0-a=0（*），
由題意知方程（*）有兩個(gè)互為相反數(shù)的根，
∴

b-3=0 -a＜0

，即b=3，a＞0，
∵f(x)=3+

a-9

x+3

，∴a≠9，
故a，b應(yīng)滿足b=3，a＞0且a≠9．
（2）結(jié)論正確．
證明：∵f（x）為奇函數(shù)，
∴f（-x）=-f（x），
取x=0，得f（0）=0，即（0，0）為函數(shù)的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，
設(shè)函數(shù)f（x）除0以外還有不動(dòng)點(diǎn)（x，x）（x≠0），
則f（x）=x．
又f（-x）=-f（x）=-x，故（-x，-x）也為函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)．
綜上：若定義在R上的奇函數(shù)f（x）圖象上存在有限個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，則不動(dòng)點(diǎn)有奇數(shù)個(gè)．
例如：f（x）=x³-x．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了新定義“不動(dòng)點(diǎn)”的性質(zhì)、函數(shù)的奇偶性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．