Question

設(shè)函數(shù)f （x）=log₂（ a^x-b^x），且f（1）=1，f（2）=log₂12
（1）求a，b的值．
（2）當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，求f（x）的最大值．
（3）p為何值時(shí)，函數(shù)g（x）=a^x-b^x+p與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)．

Answer 1

解：（1）由題意，列方程組

求得a=4，b=2..
（2）由（1）知f（x）=log₂（4^x-2^x）=
∵1≤x≤2∴2≤2^x≤4
故t=在[1，2]上單調(diào)遞減
∴f（x）的最大值=f（2）=log₂12
（3）令g（x）=4^x-2^x+p=0，則4^x-2^x+p=0有兩個(gè)不同解．
令t=2^x則t＞0故t²-t+p=0有兩個(gè)不同正根
即△=1-4p＞0且p＞0，
解得0＜p＜1/4．
分析：（1）由已知f（1）=1，f（2）=log₂12代入到f（x）中求得a、b的值即可；
（2）利用（1）求出f（x），利用換元法求得最小值即可；
（3）令g（x）=4^x-2^x+p=0，則4^x-2^x+p=0有兩個(gè)不同解．利用換元法：令t=2^x則t＞0故t²-t+p=0有兩個(gè)不同正根轉(zhuǎn)化為二次方程的問題解決即可．
點(diǎn)評(píng)：考查學(xué)生利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式的能力，理解函數(shù)極值及其幾何意義的能力，解答關(guān)鍵是利用換元法進(jìn)行轉(zhuǎn)化的能力．