Question

已知函數(shù)f(x)=

a(1-x)

x

+lnx  (a∈R)．
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若1＜x＜2，求證：

1

lnx

-

1

x-1

＜

1

2

．

Answer 1

分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)來(lái)求，先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)大于0，解得x的范圍為函數(shù)的增區(qū)間，令導(dǎo)數(shù)小于0，解得x的范圍為函數(shù)的減區(qū)間．因?yàn)楹瑓��?shù)a，所以做題時(shí)對(duì)參數(shù)進(jìn)行討論．
（2）先把要證的不等式化簡(jiǎn)為（x+1）lnx-2（x-1）＞0，再把左邊看做一個(gè)函數(shù)，只需用導(dǎo)數(shù)判斷該函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性比較大小即可．

解答：解（1）f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞）
 f′(x)=

1

x

-

a

x2

=

x-a

x2

(x＞0)
①若a≤0，則f'（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增
②若，1°當(dāng)0＜x＜a時(shí)，f'（x）＜0，f（x）在（0，a）上單調(diào)遞減
2°當(dāng)x＞a時(shí)，f'（x）＞0，f（x）在（a，+∞）上單調(diào)遞增
（2）∵1＜x＜2，∴

1

lnx

-

1

x-1

＜

1

2

?（x+1）lnx-2（x-1）＞0
令F（x）=（x+1）lnx-2（x-1）
 則F′(x)=lnx+

x+1

x

-2=lnx+

1

x

-1
由（1）知，當(dāng)a=1時(shí)，[f（x）]_min=f（1）=0∴f（x）≥f（1）=0，即F'（x）≥0，F(xiàn)（x）在上為單調(diào)遞增，，即

1

lnx

-

1

x-1

＜

1

2

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，以及證明不等式．