【題目】已知函數(shù)f(x)=xex﹣ax2﹣x;
(1)若f(x)在x=﹣1處取得極值,求a的值及f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)當(dāng)x>1時,f(x)>0恒成立,求a的取值范圍.
【答案】(1)見解析(2)a≤e﹣1
【解析】
(1)求出f′(x),得到f′(﹣1)=0,解出即可;(2)當(dāng)x>1時,f(x)>0,轉(zhuǎn)化為a,設(shè)g(x),(x>1),則利用導(dǎo)數(shù)求出g(x)的最小值,即可求得a的取值范圍.
1)f′(x)=(x+1)ex﹣2ax﹣1,
若f(x)在x=﹣1處取得極值,則f′(﹣1)=2a﹣1=0,
解得:a,
故f(x)=xexx2﹣x,f′(x)=(x+1)ex﹣x﹣1= ,
令f′(x)>0,解得:x>0或x<﹣1,
令f′(x)<0,解得:﹣1<x<0,
∴f(x)在(﹣∞,﹣1)遞增,在(﹣1,0)遞減,在(0,+∞)遞增;
故單調(diào)增區(qū)間為(﹣∞,﹣1),(0,+∞);減區(qū)間為(﹣1,0)
(2)x>1時,f(x)=xex﹣ax2﹣x>0,即a,
設(shè)g(x),(x>1)
∴g′(x)0,
∴g(x)在(1,+∞)遞增,
g(x)>g(1)=e﹣1,
∴a≤e﹣1.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某網(wǎng)購平臺為了解某市居民在該平臺的消費情況,從該市使用其平臺且每周平均消費額超過100元的人員中隨機(jī)抽取了100名,并繪制右圖所示頻率分布直方圖,已知之間三組的人數(shù)可構(gòu)成等差數(shù)列.
(1)求的值;
(2)分析人員對100名調(diào)查對象的性別進(jìn)行統(tǒng)計發(fā)現(xiàn),消費金額不低于300元的男性有20人,低于300元的男性有25人,根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)完成下列列聯(lián)表,并判斷是否有的把握認(rèn)為消費金額與性別有關(guān)?
(3)分析人員對抽取對象每周的消費金額與年齡進(jìn)一步分析,發(fā)現(xiàn)他們線性相關(guān),得到回歸方程.已知100名使用者的平均年齡為38歲,試判斷一名年齡為25歲的年輕人每周的平均消費金額為多少.(同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值代替)
,其中
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知一圓經(jīng)過點,,且它的圓心在直線上.
(I)求此圓的方程;
(II)若點為所求圓上任意一點,且點,求線段的中點的軌跡方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知A,B兩地相距24km.甲車、乙車先后從A地出發(fā)勻速駛向B地.甲車從A地到B地需行駛25min;乙車從A地到B地需行駛20min.乙車比甲車晚出發(fā)2min.
(1)分別寫出甲、乙兩車所行路程關(guān)于甲車行駛時間的函數(shù)關(guān)系式;
(2)甲、乙兩車何時在途中相遇?相遇時距A地多遠(yuǎn)?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)n為正整數(shù),集合A=.對于集合A中的任意元素和,記
M()=.
(Ⅰ)當(dāng)n=3時,若, ,求M()和M()的值;
(Ⅱ)當(dāng)n=4時,設(shè)B是A的子集,且滿足:對于B中的任意元素,當(dāng)相同時,M()是奇數(shù);當(dāng)不同時,M()是偶數(shù).求集合B中元素個數(shù)的最大值;
(Ⅲ)給定不小于2的n,設(shè)B是A的子集,且滿足:對于B中的任意兩個不同的元素,
M()=0.寫出一個集合B,使其元素個數(shù)最多,并說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某研究機(jī)構(gòu)為了了解各年齡層對高考改革方案的關(guān)注程度,隨機(jī)選取了200名年齡在內(nèi)的市民進(jìn)行了調(diào)查,并將結(jié)果繪制成如圖所示的頻率分布直方圖(分第一~五組區(qū)間分別為,,,,,).
(1)求選取的市民年齡在內(nèi)的人數(shù);
(2)若從第3,4組用分層抽樣的方法選取5名市民進(jìn)行座談,再從中選取2人在座談會中作重點發(fā)言,求作重點發(fā)言的市民中至少有一人的年齡在內(nèi)的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知四邊形為等腰梯形, , 沿對角線將旋轉(zhuǎn),使得點至點的位置,此時滿足.
(1)判斷的形狀,并證明;
(2)求二面角的平面角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某研究機(jī)構(gòu)為了了解各年齡層對高考改革方案的關(guān)注程度,隨機(jī)選取了200名年齡在內(nèi)的市民進(jìn)行了調(diào)查,并將結(jié)果繪制成如圖所示的頻率分布直方圖(分第一~五組區(qū)間分別為,,,,,).
(1)求選取的市民年齡在內(nèi)的人數(shù);
(2)若從第3,4組用分層抽樣的方法選取5名市民進(jìn)行座談,再從中選取2人在座談會中作重點發(fā)言,求作重點發(fā)言的市民中至少有一人的年齡在內(nèi)的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,C、D是以AB為直徑的圓上兩點,AB=2AD=2,AC=BC,F 是AB上一點,且AF=AB,將圓沿直徑AB折起,使點C在平面ABD的射影E在BD上,已知CE=.
(1)求證:AD⊥平面BCE;
(2)求證:AD∥平面CEF;
(3)求三棱錐A﹣CFD的體積.
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