已知焦點在軸上的橢圓和雙曲線的離心率互為倒數(shù)，它們在第一象限交點的坐標為，設(shè)直線（其中為整數(shù)）.

（1）試求橢圓和雙曲線的標準方程；

（2）若直線與橢圓交于不同兩點，與雙曲線交于不同兩點，問是否存在直線，使得向量，若存在，指出這樣的直線有多少條？若不存在，請說明理由.

 

【答案】

（1）橢圓為： ，雙曲線為：（2）存在，滿足條件的直線共有9條.

【解析】

試題分析：（1）將點代入即可求出橢圓的方程，通過橢圓的離心率求出雙曲線的離心率，聯(lián)立離心率和雙曲線的方程，求出；（2）因為直線與橢圓交于不同兩點，所以聯(lián)立直線和橢圓方程，消去，整理方程即可.

試題解析：（1）將點代入解得

∴橢圓為： ，                                        （2分）

橢圓的離心率為∴雙曲線的離心率為，               （3分）

∴，

∴雙曲線為：                                         （6分）

（2）由消去化簡整理得：

設(shè)，，則

      ①                      （8分）

由消去化簡整理得：

設(shè)，，則

      ②                      （10分）

因為，所以，

由得：．

所以或．由上式解得或．

當時，由①和②得．因是整數(shù)，

所以的值為

當，由①和②得．因是整數(shù)，所以．

于是滿足條件的直線共有9條．                                   （13分）

考點：1.求橢圓、雙曲線的方程.

 

練習冊系列答案
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（08年廈門外國語學校模擬）（12分）

已知焦點在軸上的橢圓是它的兩個焦點.

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已知焦點在軸上的橢圓的離心率為，它的長軸長等于圓的半徑，則橢圓的標準方程是（   ）

A．    B.     C.         D.

 

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（Ⅰ）求橢圓的標準方程；

（Ⅱ）已知過點的直線與橢圓交于，兩點.

（�。┤糁本�垂直于軸，求的大小;

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1.         已知焦點在軸上的橢圓的兩個焦點分別為, 且，弦過焦點，則的周長為

A．            B．               C．           D．

 

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