Question

7．已知向量$\overrightarrow a$=（2sinx，cosx），$\overrightarrow b$=（$\sqrt{3}$cosx，2cosx），函數(shù)f（x）=$\overrightarrow a•\overrightarrow b+m$（x∈R），其中m為常數(shù)．
（1）求函數(shù)y=f（x）的周期；
（2）如果y=f（x）的最小值為0，求m的值，并求此時f（x）的最大值及取得最大值時自變量x的集合．

Answer 1

分析 （1）由兩向量的坐標，利用平面向量數(shù)量積運算法則確定出f（x）解析式，找出ω的值，代入周期公式即可得到結(jié)果；
（2）根據(jù)f（x）的最小值為0，確定出m的值，進而確定出f（x）解析式，求出最大值，以及此時x的集合即可．

解答 解：（1）∵向量$\overrightarrow a$=（2sinx，cosx），$\overrightarrow b$=（$\sqrt{3}$cosx，2cosx），
∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=2$\sqrt{3}$sinxcosx+2cos²x，
∴f（x）=2$\sqrt{3}$sinxcosx+2cos²x+m=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x+m+1=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+m+1，
∵ω=2，T=$\frac{2π}{2}$=π；
（2）f（x）_min=-2+m+1=0，即m=1，
∴f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+2，f（x）_max=2+2=4，
當2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，即x=$\frac{π}{6}$+kπ，k∈Z時，函數(shù)f（x）取得最大值，
則函數(shù)f（x）取值最大值時，自變量x的集合為{x|x=$\frac{π}{6}$+kπ，k∈Z}．

點評 此題考查了平面向量的數(shù)量積的運算，三角函數(shù)的周期性及其求法，以及三角函數(shù)的最值，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵．