Question

18．已知函數(shù)f（x）=ax³+bx（a≠0）在x=1處取得極大值2，g（x）=$\frac{f（x）}{x}$+3lnx．
（I）函數(shù)f（x）在點（1，2）處的切線方程；
（Ⅱ）若函數(shù)g（x）的圖象恒在直線y=x+m的下方，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導數(shù)，得到關于a，b的方程組，解出即可；
（Ⅱ）令h（x）=g（x）-（x+m）=-x²-x+3lnx+3-m，求出函數(shù)的導數(shù)即可．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=3ax²+b，
∵函數(shù)f（x）在x=1處取得極大值2，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f′（1）=3a+b=0}\\{f（1）=a+b=2}\end{array}\right.$，
解得：a=-1，b=3，
故f（x）=-x³+3x，f′（1）=0，
故f（x）在（1，2）的切線方程是：y=2；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：g（x）=-x²+3+3lnx，
令h（x）=g（x）-（x+m）=-x²-x+3lnx+3-m，
h′（x）=-2x-1+$\frac{3}{x}$=$\frac{-{2x}^{2}-x+3}{x}$，
令h′（x）=0，得x=1，x=-$\frac{3}{2}$（舍去）．
由函數(shù)y=h（x）定義域為（0，+∞），
則當0＜x＜1時，h'（x）＞0，
當x＞1時h'（x）＜0，
∴當x=1時，函數(shù)h（x）取得最大值1-m．
由1-m＜0得m＞1
故m的取值范圍是（1，+∞）．

點評 本題主要考查了函數(shù)解析式的求解，以及利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，是高考中常考的題型，屬于中檔題．