Question

函數(shù)y=sinx-cosx+sinxcosx，x∈[0，π]的值域是

 

．

Answer 1

考點：三角函數(shù)的最值

專題：三角函數(shù)的求值

分析：設sinx-cosx=t，得sinxcosx=

1-t2

2

，依題意易求t∈[-1，

2

]，可得y=-

1

2

t²+t+

1

2

=-

1

2

（t-1）²+1，從而可得答案．

解答： 解：設sinx-cosx=t，則（sinx-cosx）²=t²⇒sinxcosx=

1-t2

2

，
∵x∈[0，π]，
∴（x-

π

4

）∈[-

π

4

，

3π

4

]，sin（x-

π

4

）∈[-

2

2

，1]，
∴t=sinx-cosx=

2

sin（x-

π

4

）∈[-1，

2

]，
∴y=-

1

2

t²+t+

1

2

=-

1

2

（t-1）²+1，
∴當t=1時，y_max=1；
當t=-1時，y_min=-1．
∴函數(shù)y=sinx-cosx+sinxcosx，x∈[0，π]的值域是[-1，1]．
故答案為：[-1，1]．

點評：本題考查三角函數(shù)的最值，換元是關鍵，考查等價轉(zhuǎn)化思想與運算求解能力，屬于中檔題．