【題目】如圖，已知拋物線：，過焦點斜率大于零的直線交拋物線于、兩點，且與其準線交于點．

（Ⅰ）若線段的長為，求直線的方程；

（Ⅱ）在上是否存在點，使得對任意直線，直線，，的斜率始終成等差數(shù)列，若存在求點的坐標；若不存在，請說明理由.

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）存在點或，使得對任意直線，直線，，的斜率始終成等差數(shù)列．

【解析】

試題分析：（Ⅰ）因為直線過焦點，所以設直線，與拋物線方程聯(lián)立，轉(zhuǎn)化為，利用焦點弦長公式，，解得直線方程；

（Ⅱ）設，用坐標表示直線的斜率，若成等差數(shù)列，那么,代入（1）的坐標后，若恒成立，解得點的坐標.

試題解析：（Ⅰ）焦點∵直線的斜率不為，所以設，

， 由得，

，，

，，

∴， ∴． ∴直線的斜率，

∵，∴， ∴直線的方程為．

（Ⅱ）設，，

同理，，

∵直線，，的斜率始終成等差數(shù)列，

∴恒成立，

即恒成立．

∴，

把，代入上式，得恒成立，．

∴存在點或，使得對任意直線，直線，，的斜率始終成等差數(shù)列．

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐中，平面，底面是直角梯形，，，，是上的點．

（Ⅰ）求證：平面平面；

（Ⅱ）若是的中點，且二面角的余弦值為，求直線與平面所成角的正弦值．

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【題目】選修4-5：不等式選講

已知不等式的對任意實數(shù)恒成立．

（Ⅰ）求實數(shù)的最小值；

（Ⅱ）若，且滿足，求證：．

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【題目】已知函數(shù)（）．

（Ⅰ）當時，討論函數(shù)的單調(diào)性；

（Ⅱ）若，恒成立，求實數(shù)的取值范圍．

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【題目】某工廠對新研發(fā)的一種產(chǎn)品進行試銷，得到如下數(shù)據(jù)表：

（1）根據(jù)上表求出回歸直線方程，并預測當單價定為8.3元時的銷量；

（2）如果該工廠每件產(chǎn)品的成本為5.5元，利用所求的回歸方程，要使得利潤最大，單價應該定為多少？

附：線性回歸方程中斜率和截距最小二乘估計計算公式：

，

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】定義在上的函數(shù)為增函數(shù)，對任意都有（為常數(shù)）

（1）判斷為何值時，為奇函數(shù)，并證明；

（2）設，是上的增函數(shù)，且，若不等式對任意恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

（3）若，，為的前項和，求正整數(shù)，使得對任意均有.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，四棱錐中，側(cè)面底面， ， ， , ， ，點在棱上，且，點在棱上，且平面.

（1）求證： 平面；

（2）求二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖1，在矩形ABCD中， ，點分別在邊上，且， 交于點．現(xiàn)將沿折起，使得平面平面，得到圖2．

（Ⅰ）在圖2中，求證： ；

（Ⅱ）若點是線段上的一動點，問點在什么位置時，二面角的余弦值為．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】過點作直線分別交軸的正半軸于兩點.

（Ⅰ）當取最小值時，求出最小值及直線的方程；

（Ⅱ）當取最小值時，求出最小值及直線的方程；

（Ⅲ）當取最小值時，求出最小值及直線的方程.

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