Question

【題目】如圖1，在矩形ABCD中， ，點(diǎn)分別在邊上，且， 交于點(diǎn)．現(xiàn)將沿折起，使得平面平面，得到圖2．

（Ⅰ）在圖2中，求證： ；

（Ⅱ）若點(diǎn)是線(xiàn)段上的一動(dòng)點(diǎn)，問(wèn)點(diǎn)在什么位置時(shí)，二面角的余弦值為．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見(jiàn)解析;（Ⅱ）．

【解析】試題分析：(1)先證明 ,再證明,證明平面,從而可得 ;
(2)建立直角坐標(biāo)系,設(shè),求出平面、平面的一個(gè)法向量,利用向量的夾角公式,結(jié)合二面角的余弦值為,即可得出結(jié)論.

試題解析：（Ⅰ）∵在矩形中， , ,

∴， ∴即.

∴在圖2中， ， .

又∵平面平面，平面平面，

∴平面， ∴，

依題意， ∥且，∴四邊形為平行四邊形.

∴∥, ∴， 又∵，

∴平面， 又∵平面， ∴.

（Ⅱ）如圖1，在中， ， ，

∵∥， ，∴.

如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，則

， ， ， ，

∴， ， ，

∵，∴平面，

∴為平面的法向量.

設(shè)，則，

設(shè)為平面的法向量，則

即，可取，

依題意，有，

整理得，即，∴，

∴當(dāng)點(diǎn)在線(xiàn)段的四等分點(diǎn)且時(shí)，滿(mǎn)足題意．