Question

5．甲廠根據(jù)以往的生產(chǎn)銷售經(jīng)驗(yàn)得到下面有關(guān)生產(chǎn)銷售的統(tǒng)計(jì)規(guī)律：每生產(chǎn)產(chǎn)品x（百臺(tái)），其總成本為G（x）（萬(wàn)元），其中固定成本為2.8萬(wàn)元，并且每生產(chǎn)1百臺(tái)的生產(chǎn)成本為1萬(wàn)元（總成本=固定成本+生產(chǎn)成本），銷售收入R（x）（萬(wàn)元）滿足R（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-0.4{x}^{2}+3.4x+0.8，（0≤x≤5）}\\{9，（x＞5）}\end{array}\right.$，假定該產(chǎn)品產(chǎn)銷平衡（即生產(chǎn)的產(chǎn)品都能賣掉），根據(jù)上述統(tǒng)計(jì)規(guī)律，請(qǐng)完成下列問(wèn)題：
（1）寫出利潤(rùn)函數(shù)y=f（x）的解析式（利潤(rùn)=銷售收入-總成本）；
（2）要使甲廠有盈利，求產(chǎn)量x的范圍；
（3）甲廠生產(chǎn)多少臺(tái)產(chǎn)品時(shí)，可使盈利最多？

Answer 1

分析 （1）由G（x）=2.8+x．通過(guò)f（x）=R（x）-G（x得到解析式；
（2）利用分段函數(shù)分別盈利時(shí)，取得x的范圍，即可．
（3）當(dāng)x＞5時(shí)，當(dāng)0≤x≤5時(shí)，分別求解函數(shù)的最大值即可．

解答 解：（1）由題意得G（x）=2.8+x．    …（2分）
f（x）=R（x）-G（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-0.4{x}^{2}+2.4x-2，（0≤x≤5）}\\{6.2-x，（x＞5）}\end{array}\right.$，…（5分）
（2）①當(dāng)0≤x≤5時(shí)，由-0.4x²+2.4x-2＞0，得：x²-6x+5＜0，解得1＜x＜5．
所以：1＜x＜5．                                …（7分）
②當(dāng)x＞5時(shí)，由6.2-x＞0解得 x＜6.2．  所以：5＜x＜6.2．
綜上得當(dāng)1＜x＜5或5＜x＜6.2時(shí)有y＞0．           …（9分）
所以當(dāng)產(chǎn)量大于100臺(tái)，小于620臺(tái)時(shí)，且不為500臺(tái)時(shí)，能使工廠有盈利．…（10分）
（3）當(dāng)x＞5時(shí)，∵函數(shù)f（x）遞減，∴f（x）＜f（5）=1.2（萬(wàn)元）．
當(dāng)0≤x≤5時(shí)，函數(shù)f（x）=-0.4（x-4）²+3.6，
當(dāng)x=3時(shí)，f（x）有最大值為1.6（萬(wàn)元）．
答：當(dāng)工廠生產(chǎn)300臺(tái)時(shí)，可使贏利最大為1.6萬(wàn)元．   …（15分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查實(shí)際問(wèn)題的應(yīng)用，分段函數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的最大值的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．