Question

已知△ABC中，（tanA+1）（tanB+1）=2，AB=2，求：
（1）角C的度數(shù)；
（2）求三角形ABC面積的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）把已知的等式（tanA+1）（tanB+1）=2變形，利用兩角和的正切函數(shù)公式即可求出tan（A+B）的值，利用三角形的內(nèi)角和定理及誘導(dǎo)公式即可求出tanC的值，根據(jù)C的范圍，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出C的度數(shù)；
（2）由AB即c的值和cosC的值，利用余弦定理即可表示出關(guān)于a與b的關(guān)系式，利用基本不等式求出ab的最大值，然后利用三角形的面積公式，由求出的ab的最大值和sinC的值即可求出三角形ABC面積的最大值．
解答：解：記角A、角B、角C的對(duì)邊分別為a、b、c
（1）tanA+tanB+tanAtanB+1=2，即tanA+tanB=1-tanAtanB，
∵1-tanAtanB≠0，
∴tan（A+B）==1，
即tanC=tan[π-（A+B）]=-tan（A+B）=-1，
∵C∈（0，π），∴C=；
（2）由余弦定理a²+b²-2abcosC=c²得：
a²+b²+2×ab=4，即a²+b²+ab=4，
而4-ab=a²+b²≥2ab，即ab≤4-2，
所以S_△ABC=absinC=ab≤（4-2）=-1．
點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生靈活運(yùn)用兩角和的正切函數(shù)公式及誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求值，靈活運(yùn)用余弦定理及三角形的面積公式化簡(jiǎn)求值，會(huì)利用基本不等式求函數(shù)的最大值，是一道中檔題．