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設集合M={x|f(x)=x},集合{x|f(f(x))=x},若已知函數y=f(x)是R上的增函數,記|M|,|N|是M,N中元素的個數,則下列判斷一定正確的是( )
A.|M|=|N|
B.|M|>|N|
C.|M|<|N|
D.||M|-|N||=1
【答案】分析:欲比較|M|,|N|是M,N中元素的個數,關鍵是看集合M,N的關系,一方面,若x∈M,即f(x)=x,從而f(f(x))=f(x)=x,得出x∈N,另一方面,反之,若x∈N,即f(f(x))=x,利用反證法可得:f(x)=x,從而得出M=N.
解答:解:若x∈M,即f(x)=x,
從而f(f(x))=f(x)=x,
∴x∈N,
反之,若x∈N,即f(f(x))=x,
當f(x)=x時成立,若f(x)≠x,∵函數y=f(x)是R上的增函數,
從而f(f(x))≠f(x)=x,這與f(f(x))=x矛盾,
故必有:f(x)=x
∴x∈M,
綜上所述:M=N,
∴|M|=|N|
故選A.
點評:本小題主要考查函數單調性的應用、集合的包含關系判斷及應用等基礎知識,考查運算求解能力,考查分析問題的能力.屬于基礎題.
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  1. A.
    |M|=|N|
  2. B.
    |M|>|N|
  3. C.
    |M|<|N|
  4. D.
    ||M|-|N||=1

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