Question

3．已知正實(shí)數(shù)a，b滿足2a+b+4=ab，若（2a+b）x²+abx-6≥0總成立，則正實(shí)數(shù)x的取值范圍x≥$\frac{\sqrt{13+10\sqrt{3}}-（2+\sqrt{3}）}{2+2\sqrt{3}}$．

Answer 1

分析 a，b＞0，2a+b=ab-4＞0，利用基本不等式的性質(zhì)可得：ab-4≥2$\sqrt{2ab}$，解得$\sqrt{ab}$≥$\sqrt{2}+\sqrt{6}$，把2a+b=ab-4代入（2a+b）x²+abx-6≥0，x＞0，可得：（ab）min≥$\frac{6+4{x}^{2}}{{x}^{2}+x}$．解出即可得出．

解答 解：∵a，b＞0，∴2a+b=ab-4＞0，
∴ab-4≥2$\sqrt{2ab}$，化為$（\sqrt{ab}）^{2}-2\sqrt{2}\sqrt{ab}$-4≥0，
解得$\sqrt{ab}$≥$\sqrt{2}+\sqrt{6}$，
∴ab≥8+4$\sqrt{3}$，當(dāng)且僅當(dāng)2a=b=2+2$\sqrt{3}$時(shí)取等號(hào)．
把2a+b=ab-4代入（2a+b）x²+abx-6≥0，x＞0，可得：（ab-4）x²+abx-6≥0，
即ab（x²+x）≥4x²+6（恒成立），又x＞0，
∴（ab）_min≥$\frac{6+4{x}^{2}}{{x}^{2}+x}$．
∴8+4$\sqrt{3}$≥$\frac{6+4{x}^{2}}{{x}^{2}+x}$，化為：（2+2$\sqrt{3}$）x²+$（4+2\sqrt{3}）$x-3≥0，
解得x≥$\frac{\sqrt{13+10\sqrt{3}}-（2+\sqrt{3}）}{2+2\sqrt{3}}$，
∴正實(shí)數(shù)x的取值范圍是x≥$\frac{\sqrt{13+10\sqrt{3}}-（2+\sqrt{3}）}{2+2\sqrt{3}}$．
故答案為：x≥$\frac{\sqrt{13+10\sqrt{3}}-（2+\sqrt{3}）}{2+2\sqrt{3}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了一元二次不等式的解法、基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．