Question

【題目】如圖，三棱錐中，底面是邊長為2的正三角形， ， .

（1）求證：平面平面；

（2）若，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）．

【解析】試題分析：（1）通過證明線面垂直，由面面垂直的判定定理，得出面面垂直；（2）先作出二面角的平面角，再證明，再由余弦定理求出二面角的余弦值。

試題解析：（1）取AC的中點(diǎn)O，連接BO，PO.

因?yàn)?/span>ABC是邊長為2的正三角形，所以BO⊥AC，BO=.

因?yàn)?/span>PA⊥PC，所以PO=.

因?yàn)?/span>PB=2，所以OP2+OB2==PB2，所以PO⊥OB.

因?yàn)?/span>AC，OP為相交直線，所以BO⊥平面PAC.

又OB平面ABC，所以平面PAB⊥平面ABC．

（2）因?yàn)?/span>PA=PB，BA=BC，所以≌.

過點(diǎn)A作于D，則.

所以為所求二面角A﹣PB﹣C 的平面角.

因?yàn)?/span>PA=PC，PA⊥PC，AC=2，所以.

在中，求得，同理.

在中，由余弦定理，得.

所以，二面角A﹣PB﹣C的余弦值為．