Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，ABCD為菱形，PA⊥平面ABCD，∠BCD=60°BC=1，E為CD的中點(diǎn)，PC與平面ABCD成角60°．
（1）求證：平面EPB⊥平面PBA；　
（2）求二面角B-PD-A的大小．

Answer 1

（1）證明：∵E為CD的中點(diǎn)，BC=1，ABCD為菱形，
∴CE=，又∠BCD=60°，
∴∠BEC=90°，
∴BE⊥AB，又PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥BE，
∵PA?面PAB，AB?面PAB，PA∩AB=A，
∴BE⊥面PAB，
∵BE?面PBE，
∴面PBE⊥面PAB．
（2）解：過B點(diǎn)作BF⊥AD于F，過F作FM⊥PD于M，連接BM
∵BF⊥AD，BF⊥PA，
∴BF⊥面PAD，
∵BM為面PAD的斜線，MF為BM在面PAD的射影，
∴BM⊥PD，
∴∠BMF為二面角B-PD-A的平面角，
PC與面ABCD成角60°，∠PCA=60°，PA=3，BF=，MF=，
∴，
所以二面角B-PD-A為arctan．
分析：（1）由E為CD的中點(diǎn)，BC=1，ABCD為菱形，知CE=，又∠BCD=60°，所以∠BEC=90°，故BE⊥AB，又PA⊥平面ABCD，PA⊥BE，所以BE⊥面PAB，由此能夠證明面PBE⊥面PAB．
（2）過B點(diǎn)作BF⊥AD于F，過F作FM⊥PD于M，連接BM，由BF⊥AD，BF⊥PA，知BF⊥面PAD，所以∠BMF為二面角B-PD-A的平面角，由此能求出二面角B-PD-A的大小．
點(diǎn)評：本題考查平面與平面垂直的證明和求二面角的大小，有一定的探索性．綜合性強(qiáng)，難度大，易出錯(cuò)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意三垂線定理及其逆定理的靈活運(yùn)用．