Question

已知函數(shù)f（x）=ax²+2ln（1-x），其中a∈R．
（1）是否存在實(shí)數(shù)a，使得f（x）在x=

1

2

處取極值？試證明你的結(jié)論；
（2）若f（x）在[-1，

1

2

]上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專(zhuān)題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）假設(shè)存在實(shí)數(shù)a，使得f（x）在x=

1

2

處取極值．求出導(dǎo)數(shù)，有f′（

1

2

）=0，求出a，檢驗(yàn)是否為極值；
（2）f（x）在[-1，

1

2

]上是減函數(shù)f′(x)=2ax-

2

1-x

≤0在[-1，

1

2

]上恒成立，即ax²-ax+1≥0在[-1，

1

2

]上恒成立．令g（x）=ax²-ax+1，討論a=0，a＞0，a＜0三種，運(yùn)用二次函數(shù)的單調(diào)性，即可解決．

解答： 解：（1）假設(shè)存在實(shí)數(shù)a，使得f（x）在x=

1

2

處取極值．
∵函數(shù)f（x）=ax²+2ln（1-x），
∴f′（x）=2ax+

2

x-1

，f′（

1

2

）=a-4=0，a=4，
檢驗(yàn)：f′（x）=

8x2-8x+2

x-1

=

2(2x-1)2

x-1

≤0，
即f（x）在（-∞，1）上單調(diào)遞減，
故

1

2

不為極值點(diǎn)．
故不存在實(shí)數(shù)a，使得f（x）在x=

1

2

處取極值．
（2）f（x）在[-1，

1

2

]上是減函數(shù)等價(jià)為
f′(x)=2ax-

2

1-x

≤0在[-1，

1

2

]上恒成立，
即ax²-ax+1≥0在[-1，

1

2

]上恒成立．
令g（x）=ax²-ax+1，
a=0，1＞0顯然成立；
a＞0時(shí)，區(qū)間[-1，

1

2

]為減區(qū)間，只要g（

1

2

）≥0，即

1

4

a-

1

2

a+1≥0，解得a≤4，∴0＜a≤4；
當(dāng)a＜0時(shí)，區(qū)間[-1，

1

2

]為增區(qū)間，只要g（-1）≥0，解得a≥-

1

2

，∴-

1

2

≤a＜0．
綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是[-

1

2

，4]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用：判斷函數(shù)的單調(diào)性和求極值，考查不等式的恒成立問(wèn)題，主要是二次不等式在閉區(qū)間上的恒成立問(wèn)題，注意轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)來(lái)解決，是一道中檔題．