Question

已知函數(shù)f(x)＝ex，a，bR，且a＞0．

⑴若a＝2，b＝1，求函數(shù)f(x)的極值；

⑵設(shè)g(x)＝a(x－1)ex－f(x)．

①當(dāng)a＝1時，對任意x (0，＋∞)，都有g(shù)(x)≥1成立，求b的最大值；

②設(shè)g′(x)為g(x)的導(dǎo)函數(shù)．若存在x＞1，使g(x)＋g′(x)＝0成立，求的取值范圍．

 

Answer 1

⑴f (x)的極大值是f (－1)＝e－1，f (x)的極小值是f ()＝4;⑵① －1－e－1 ;②（－1，＋∞）．

【解析】

試題分析： ⑴由 a＝2，b＝1得，f (x)＝(2＋)ex, 定義域為(－∞，0)∪(0，＋∞);從而可求得 f ′(x)＝ex, 令f ′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝，列表可求得f (x)的極值.

⑵①當(dāng)a＝1時，g (x)＝(x－－2)ex,由已知得不等式g (x)≥1在x∈（0，＋∞）上恒成立,即b≤x2－2x－在x∈（0，＋∞）上恒成立,從而b≤(x2－2x－)min x∈(0，＋∞）,令h(x)＝x2－2x－（x＞0）利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)求出h(x)的最小值即可.

②由于g (x)＝(ax－－2a)ex，所以g ′(x)＝(＋ax－－a)ex; 由g (x)＋g ′(x)＝0，得(ax－－2a)ex＋(＋ax－－a)ex＝0，整理得2ax3－3ax2－2bx＋b＝0．

存在x＞1，使g (x)＋g ′(x)＝0成立，等價于存在x＞1，2ax3－3ax2－2bx＋b＝0成立．

注意到a＞0，所以＝（x＞1）;設(shè)u(x)＝（x＞1），則問題等價于的最小值(或下確界),利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)可判斷u(x)在上的單調(diào)性可求得從而可得的取值范圍為（－1，＋∞）．

試題解析：⑴當(dāng)a＝2，b＝1時，f (x)＝(2＋)ex，定義域為(－∞，0)∪(0，＋∞)．

所以f ′(x)＝ex．令f ′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝，列表

x	(－∞，－1)	－1	(－1，0)	(0，)		(，＋∞)
f ′(x)			－	－
f (x)	↗	極大值	↘	↘	極小值	↗

 

由表知f (x)的極大值是f (－1)＝e－1，f (x)的極小值是f ()＝4．

⑵① 因為g (x)＝(ax－a)ex－f (x)＝(ax－－2a)ex，當(dāng)a＝1時，g (x)＝(x－－2)ex．

因為g (x)≥1在x∈（0，＋∞）上恒成立，所以b≤x2－2x－在x∈（0，＋∞）上恒成立．

記h(x)＝x2－2x－（x＞0），則h′(x)＝．

當(dāng)0＜x＜1時，h′(x)＜0，h(x)在（0，1）上是減函數(shù)；

當(dāng)x＞1時，h′(x)＞0，h(x)在（1，＋∞）上是增函數(shù)．

所以h(x)min＝h(1)＝－1－e－1．所以b的最大值為－1－e－1．

②因為g (x)＝(ax－－2a)ex，所以g ′(x)＝(＋ax－－a)ex．

由g (x)＋g ′(x)＝0，得(ax－－2a)ex＋(＋ax－－a)ex＝0，整理得2ax3－3ax2－2bx＋b＝0．

存在x＞1，使g (x)＋g ′(x)＝0成立，等價于存在x＞1，2ax3－3ax2－2bx＋b＝0成立．

因為a＞0，所以＝．設(shè)u(x)＝（x＞1），則u′(x)＝．

因為x＞1，u′(x)＞0恒成立，所以u(x)在（1，＋∞）是增函數(shù)，所以u(x)＞u(1)＝－1，

所以＞－1，即的取值范圍為（－1，＋∞）．

考點：1.函數(shù)的極值;2.不等式的恒成立;3.存在成立.