橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左右頂點(diǎn)分別為A、B．點(diǎn)P雙曲線C2：
x2
a2
-
y2
b2
=1在第一象限內(nèi)的圖象上一點(diǎn)，直線AP、BP與橢圓C1分別交于C、D點(diǎn)．若△ACD與△PCD的面積相等．
（1）求P點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）能否使直線CD過(guò)橢圓C1的右焦點(diǎn)，若能，求出此時(shí)雙曲線C2的離心率，若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．
分析：（1）設(shè)P（x0，y0）（x0＞0，y0＞0），又有點(diǎn)A（-a，0），B（a，0）．由S△ACD=S△PCD，知C為AP的中點(diǎn)，C(
x0-a
2
，
y0
2
)．將C點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程，得
(x0-a)2
a2
+
y
2
0
b2
=4，由此能夠推導(dǎo)出P(2a，
3
b)．
（2）由KPD=KPB=
y0
x0-a
=
3
b
a
，把直線PD：y=
3
b
a
(x-a)代入
x2
a2
+
y2
b2
=1?2x2-3ax+a2=0．由此入手能夠?qū)С隹墒笴D過(guò)橢圓C1的右焦點(diǎn)，此時(shí)C2的離心率為
7
2
．
解答：解：（1）設(shè)P（x0，y0）（x0＞0，y0＞0），又有點(diǎn)A（-a，0），B（a，0）．
∵S△ACD=S△PCD，
∴C為AP的中點(diǎn)，∴C(
x0-a
2
，
y0
2
)．
將C點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程，得
(x0-a)2
a2
+
y
2
0
b2
=4，
又
x
2
0
a2
-
y
2
0
b2
=1?
(x0-a)2
a2
+
x
2
0
a2
=5，
∴x0=2a（x0=-a舍去），
∴y0=
3
b，
∴P(2a，
3
b)．
（2）∵KPD=KPB=
y0
x0-a
=
3
b
a
，
直線PD：y=
3
b
a
(x-a)代入
x2
a2
+
y2
b2
=1?2x2-3ax+a2=0
∴xD=
a
2
(xD=a舍去)，
∴C(
x0-a
2
，
y0
2
)，即C(
a
2
，
3
2
b)
∴CD垂直于x軸．若CD過(guò)橢圓C1的右焦點(diǎn)，則
a
2
=
a2-b2
，
∴b=
3
2
a，
∴e=
a2+b2
a
=
7
2
．故可使CD過(guò)橢圓C1的右焦點(diǎn)，此時(shí)C2的離心率為
7
2
．
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線和圓錐曲線的位置關(guān)系，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)設(shè)橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別是F1、F2，下頂點(diǎn)為A，線段OA的中點(diǎn)為B（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），如圖．若拋物線C2：y=x2-1與y軸的交點(diǎn)為B，且經(jīng)過(guò)F1，F(xiàn)2點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓C1的方程；
（Ⅱ）設(shè)M（0，-
4
5
），N為拋物線C2上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)N作拋物線C2的切線交橢圓C1于P、Q兩點(diǎn)，求△MPQ面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的右焦點(diǎn)F2與拋物線C2：y2=4x的焦點(diǎn)重合，橢圓C1與拋物線C2在第一象限的交點(diǎn)為P，|PF2|=
5
3
，求橢圓C1的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2013•三門(mén)峽模擬）已知橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，離心率為
1
2
，F(xiàn)1、F2分別為其左右焦點(diǎn)．一動(dòng)圓過(guò)點(diǎn)F2，且與直線x=-1相切．
（Ⅰ）（�。┣髾E圓C1的方程； （ⅱ）求動(dòng)圓圓心C軌跡的方程；
（Ⅱ）在曲線上C有兩點(diǎn)M、N，橢圓C1上有兩點(diǎn)P、Q，滿(mǎn)足MF2與
NF2
共線，
PF2
與
QF2
共線，且
PF2
•
MF2
=0，求四邊形PMQN面積的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓C1：
x2
A2
+
y2
B2
=1(A＞B＞0)和雙曲線C2：
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)有相同的焦點(diǎn)F1、F2，2c是它們的共同焦距，且它們的離心率互為倒數(shù)，P是它們?cè)诘谝幌笙薜慕稽c(diǎn)，當(dāng)cos∠F1PF2=60°時(shí)，下列結(jié)論中正確的是（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2013•汕頭一模）已知橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，右頂點(diǎn)為A，離心率e=
1
2

（1）設(shè)拋物線C2：y2=4x的準(zhǔn)線與x軸交于F1，求橢圓的方程；
（2）設(shè)已知雙曲線C3以橢圓C1的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)，頂點(diǎn)為焦點(diǎn)，b是雙曲線C3在第一象限上任意-點(diǎn)，問(wèn)是否存在常數(shù)λ（λ＞0），使∠BAF1=λ∠BF1A恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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