精英家教網(wǎng)已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（±1，0），橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，
2
2
）
（1）求橢圓方程；
（2）過(guò)橢圓左頂點(diǎn)M（-a，0）與直線x=a上點(diǎn)N的直線交橢圓于點(diǎn)P，求
OP
•
ON
的值．
（3）過(guò)右焦點(diǎn)且不與對(duì)稱軸平行的直線l交橢圓于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)Q（2，t），若KQA+KQB=2與l的斜率無(wú)關(guān)，求t的值．
分析：（1）利用橢圓的三參數(shù)的關(guān)系列出一個(gè)方程，再將P的坐標(biāo)代入得到另一個(gè)方程，解方程組求出橢圓的方程．
（2）設(shè)出N點(diǎn)，寫(xiě)出MN的方程，將MN方程與橢圓方程聯(lián)立，由韋達(dá)定理表示出P的坐標(biāo)，利用向量的坐標(biāo)公式表示出兩個(gè)向量的坐標(biāo)，利用向量的數(shù)量積公式求出兩個(gè)向量的數(shù)量積．
（3）設(shè)出AB的方程，將AB方程與橢圓方程聯(lián)立，由韋達(dá)定理得到A，B坐標(biāo)的關(guān)系，表示出KQA+KQB，令其為2，得到方程恒成立求t值．
解答：解：（1）由題意得
a2=b2+1
1
a2
+
1
2b2
=1
解得a2=2，b2=1
故橢圓方程為
x2
2
+y2=1
（2）設(shè)N（
2
，m），P（X，Y）則MN的方程為y=
m
2
2
(x+
2
)
由
y=
d
2
2
(x+
2
)
x2
2
+y2=1
得(4+m2)x2+2
2
m2x+2m2-8=0
由韋達(dá)定理得x-
2
=
-2
2 
m2
4+m2
所以x=
4
2
-
2
m2
4+m2
代入直線方程得
P（
4
2
-
2
m2
4+m2
，
4m
4+m2
）
∴
OP
=(
4
2
-
2
m2
4+m2
，
4m
4+m2
)，
ON
=(
2
，m)
∴
OP
•
ON
=
8-2m2
4+m2
+
4m2
4+m2
=2
（3）AB的方程為x=my+1，設(shè)A（e，f），B（g，h）
由
x=my+1
x2
2
+y2=1
得（m2+2）y2+2my-1=0
所以f+h=-
2m
m2+2
，fh=
-1
m2+2

kQA+kQB= 
f-t
e-2
+
h-t
g-2
=
f-t
mf-1
+
h-t
mh-1

=
2mfh-(mt+1)(f+h)+2t
m2fh-m(f+h)+1

=
-
2m
m2+2
+
(mt+1)•2m
m2+2
+ 2t
-
m2
m2+2
+ 
2m2
m2+2
+ 1
=2
∵KQA+KQB=2與l的斜率無(wú)關(guān)
∴2t=2，即t=1．
點(diǎn)評(píng)：本題考查利用待定系數(shù)法求橢圓方程、考查向量的坐標(biāo)公式、考查向量的數(shù)量積公式、考查解決直線與圓錐曲線的位置關(guān)系常采用將直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，左頂點(diǎn)為A，若|F1F2|=2，橢圓的離心率為e=
1
2

（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，
（Ⅱ）若P是橢圓上的任意一點(diǎn)，求
PF1
•
PA
的取值范圍
（III）直線l：y=kx+m與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)M，N（均不是長(zhǎng)軸的頂點(diǎn)），AH⊥MN垂足為H且
AH
2=
MH
•
HN
，求證：直線l恒過(guò)定點(diǎn)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左焦點(diǎn)F（-c，0）是長(zhǎng)軸的一個(gè)四等分點(diǎn)，點(diǎn)A、B分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F且不與y軸垂直的直線l交橢圓于C、D兩點(diǎn)，記直線AD、BC的斜率分別為k1，k2
（1）當(dāng)點(diǎn)D到兩焦點(diǎn)的距離之和為4，直線l⊥x軸時(shí)，求k1：k2的值；
（2）求k1：k2的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率是
3
2
，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（2，1），直線y=
1
2
x+m(m＜0)與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)．
（1）求橢圓的方程；
（2）當(dāng)m=-1時(shí)，求△MAB的面積；
（3）求△MAB的內(nèi)心的橫坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2013•威海二模）已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為e=
6
3
，過(guò)右焦點(diǎn)做垂直于x軸的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，且兩交點(diǎn)與橢圓的左焦點(diǎn)及右頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形面積為
2
6
3
+2．
（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)M（0，2），直線l：y=1，過(guò)M任作一條不與y軸重合的直線與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，若N為AB的中點(diǎn)，D為N在直線l上的射影，AB的中垂線與y軸交于點(diǎn)P．求證：
ND
•
MP
AB
2
為定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)為F，過(guò)F作y軸的平行線交橢圓于M、N兩點(diǎn)，若|MN|=3，且橢圓離心率是方程2x2-5x+2=0的根，求橢圓方程．

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同步練習(xí)冊(cè)答案