如圖1，AC⊥BC，AC⊥AD，AD=BC=2，AC=
3
，M是線段AD的中點，連接MC，將△MCD沿MC折起，使得二面角D-MC-A為直二面角得到圖2．
（Ⅰ）求異面直線AB與DM所成角的余弦值；
（Ⅱ）求二面角D-AB-M的正弦值．
考點：二面角的平面角及求法,異面直線及其所成的角
專題：空間位置關系與距離,空間角
分析：（Ⅰ）以A為原點，AC為x軸，AM為y軸，建立空間直角坐標系O-xyz，利用向量法能求出異面直線AB與DM所成角的余弦值．
（Ⅱ）求出平面ABD的法向量和平面ABM的法向量，利用向量法能求出二面角D-AB-M的正弦值．
解答： 解：（Ⅰ）以A為原點，AC為x軸，AM為y軸，
建立空間直角坐標系O-xyz，
由題意得A（0，0，0），B（
3
，-2，0），
M（0，1，0），D（-
3
4
，
5
4
，
3
2
），
∴
AB
=(
3
，-2，0)，
DM
=（-
3
4
，
1
4
，
3
2
），
設異面直線AB與DM所成角為θ，
則cosθ=|cos＜
AB
，
DM
＞|=|
-
3
4
-
1
2
+0
7
•
3
16
+
1
16
+
3
4
|=
5
7
28
．
∴異面直線AB與DM所成角的余弦值為
5
7
28
．
（Ⅱ）設平面ABD的法向量
n
=(x，y，z)，
AB
=(
3
，-2，0)，
AD
=(-
3
4
，
1
4
，
3
2
)，
由
n
•
AB
=0
n
•
AD
=0
，得
3
x-2y=0
-
3
4
x+
1
4
y+
3
2
z=0
，
取y=-2，得
n
=(-
4
3
，-2，
3
)，
又平面ABM的法向量為
m
=(0，0，1)，
設二面角D-AB-M的平面角為α，
則cosα=|cos＜
n
，
m
＞|=|
3
16
9
+4+3
|=
3
37
37
，
∴sinα=
2
259
37
，
∴二面角D-AB-M的正弦值為
2
259
37
．
點評：本題考查異面直線的余弦值的求法，考查二面角的正弦值的求法，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設函數(shù)f（x）在x=2處導數(shù)存在，則
lim
△x→0
f(2)-f(2+△x)
2△x
=（　�。�
A、-2f′（2）
B、2f′（2）
C、-
1
2
f′（2）
D、
1
2
f′（2）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

命題p∨q真，p∧q假，則四個命題p，q，￢p∨￢q，￢p∧￢q中，真命題的個數(shù)為（　�。�
A、0B、1C、2D、3

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

中國的某漁船在我國的釣魚島海域捕魚，漁船從A點出發(fā)（如圖1所示）朝南偏西30°方向行駛同時在行駛線路上布置漁網(wǎng)，行駛5公里后到達預定點B轉(zhuǎn)向第二預定點C，行駛7公里到達點C，再由C點行駛3公里回到起點A，求漁網(wǎng)圍成三角形的面積以及點C在起點A的什么方向上．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設拋物線C1：y2=4x的準線與x軸交于點F1，焦點為F2，橢圓C2以F1和F2為焦點，離心率e=
1
2
．設P是C1與C2的一個交點．
（1）求橢圓C2的方程．
（2）直線l過C2的右焦點F2，交C1于A1，A2兩點，且|A1A2|等于△PF1F2的周長，求l的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖1所示，在四棱錐A-BHCD中，AH⊥面BHCD，此棱錐的三視圖如圖2：

（1）求二面角B-AC-D的余弦值；
（2）在線段AC上是否存在一點E，使ED與面BCD成45°角？若存在，確定E的位置；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在直角坐標系xOy中，以O為極點，x正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C1的參數(shù)方程為：，
x=
2
cosθ
y=
6
sinθ
（θ為參數(shù)），C2的極坐標方程為：2ρsinθ-
3
ρcosθ+5=0．
（Ⅰ）寫出C1和C2的直角坐標方程；
（Ⅱ）已知射線l1的極坐標方程為：θ=
π
3
，射線l2的極坐標方程為：θ=-
π
6
．且l1交C1于M，l2交C2于N，求三角形OMN的面積．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

某青少年研究中心為了統(tǒng)計某市青少年（18歲以下）2014年春節(jié)所收壓歲錢的情況進而研究青少年的消費去向，隨機抽查了該市60名青少年所收壓歲錢的情況，得到如下數(shù)據(jù)統(tǒng)計表：
壓歲錢（單位：千元）頻數(shù)頻率
（0，0.5]30.05
（0.5，1]xp
（1，1.5]90.15
（1.5，2]150.25
（2，2.5]180.30
（2.5，3]yq
合計601.00
已知“超過2千元的青少年”與“不超過2千元的青少年”人數(shù)比恰好為2：3．
（Ⅰ）試確定x，y，p，q的值，并補全頻率分布直方圖（如圖）．
（Ⅱ）該機構(gòu)為了進一步了解這60名青少年壓歲錢的消費去向，從“超過2千元的青少年”、“不超過2千元的青少年”中用分層抽樣的方法確定10人，若需從這10人中隨機選取3人進行問卷調(diào)查．設為選取的3人中“超過2千元的青少年”的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學期望．
（Ⅲ）若以頻率估計概率，從該市青少年中隨機抽取15人進行座談，若15人中“超過2千元的青少年”的人數(shù)為η，求η的期望．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=a-
2
2x+1
（a∈R）
（Ⅰ）當a=1時，證明函數(shù)f（x）為奇函數(shù)；
（Ⅱ）判斷函f（x）的單調(diào)性，并說明理由：
（Ⅲ）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，3]上的最小值為2，求實數(shù)a的值．

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