Question

在直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為極點，x正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C₁的參數(shù)方程為：，

x= 2 cosθ y= 6 sinθ

（θ為參數(shù)），C₂的極坐標(biāo)方程為：2ρsinθ-

3

ρcosθ+5=0．
（Ⅰ）寫出C₁和C₂的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）已知射線l₁的極坐標(biāo)方程為：θ=

π

3

，射線l₂的極坐標(biāo)方程為：θ=-

π

6

．且l₁交C₁于M，l₂交C₂于N，求三角形OMN的面積．

Answer 1

考點：簡單曲線的極坐標(biāo)方程

專題：坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：（1）把曲線C₁的參數(shù)方程，消去參數(shù)化為直角坐標(biāo)方程；把 C₂的極坐標(biāo)方程利用x=ρcosθ，y=ρsinθ，化為直角坐標(biāo)方程．
（2）把l₁的參數(shù)方程代入曲線C₁的方程化簡，求得t=2，可得OM=2．把l₂：θ=-

π

6

，代入C₂的極坐標(biāo)方程，求得 ρ=2，可得ON=2，再根據(jù)∠MON=90°，求得S_△OMN的值．

解答： 解：（1）把曲線C₁的參數(shù)方程

x= 2 cosθ y= 6 sinθ

（θ為參數(shù)），消去參數(shù)可得C₁：

y2

6

+

x2

2

=1．
∵C₂的極坐標(biāo)方程為2ρsinθ-

3

ρcosθ+5=0，可得它的直角坐標(biāo)方程為

3

x-2y-5=0．
（2）∵l₁：θ=

π

3

，即

x= 1 2 t y= 3 2 t

(t≥0，t為參數(shù))，代入曲線C₁的方程可得

3 4 t2

6

+

1 4 t2

2

=1，
求得t=2，即OM=2．
把l₂：θ=-

π

6

，代入C₂的極坐標(biāo)方程，可得 2ρsin(-

π

6

)-

3

ρcos(-

π

6

)+5=0，
求得 ρ=2，即ON=2．
由題知∠MON=90°，∴S_△OMN=2．

點評：本題主要考查把參數(shù)方程、極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)方程的方法，參數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題．