11.等差數(shù)列{an}中a2=5,a6=21.
(1)求{an}的通項公式及前n項和Sn;
(2)設(shè)${b_n}=\frac{2}{{{S_n}+5n}}$,求數(shù)列{bn}的前n項和Tn

分析 (1)設(shè){an}的公差為d,由等差數(shù)列的通項公式,可得首項和公差的方程,即可得到所求通項公式和前n項和Sn;
(2)求得${b_n}=\frac{2}{{{S_n}+5n}}$=$\frac{2}{2{n}^{2}-n+5n}$=$\frac{1}{{n}^{2}+2n}$=$\frac{1}{2}$($\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$),運用數(shù)列的求和方法:裂項相消求和,化簡整理即可得到所求和.

解答 解:(1)設(shè){an}的公差為d,
由a2=5,a6=21,
即為a1+d=5,a1+5d=21,
解得d=4,a1=1
可得{an}的通項公式an=a1+(n-1)d=1+4(n-1)=4n-3,
Sn=$\frac{n(1+4n-3)}{2}$=n(2n-1);
(2)${b_n}=\frac{2}{{{S_n}+5n}}$=$\frac{2}{2{n}^{2}-n+5n}$=$\frac{1}{{n}^{2}+2n}$=$\frac{1}{2}$($\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$),
則數(shù)列{bn}的前n項和Tn=$\frac{1}{2}$(1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$)
=$\frac{1}{2}$(1+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$)=$\frac{3}{4}$-$\frac{1}{2n+2}$-$\frac{1}{2n+4}$.

點評 本題考查等差數(shù)列的通項公式和求和公式,注意運用方程思想,考查數(shù)列的求和方法:裂項相消求和,考查化簡整理的運算能力,屬于中檔題.

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