Question

16．在直角坐標(biāo)系xOy中，以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知直線C₁的極坐標(biāo)方程為ρcosθ-ρsinθ+1=0，曲線C₂的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+2cosα}\\{y=\sqrt{3}+2sinα}\end{array}\right.$（α為參數(shù)）．
（1）求直線C₁的直角坐標(biāo)方程和圓C₂的圓心的極坐標(biāo)；
（2）設(shè)直線C₁和圓C₂的交點(diǎn)為A，B，求線段AB的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化方法，可得直線C₁的直角坐標(biāo)方程和圓C₂的圓心的極坐標(biāo)；
（2）求出圓心到直線的距離，利用勾股定理，求線段AB的長(zhǎng)．

解答 解：（1）∵直線C₁的極坐標(biāo)方程為ρcosθ-ρsinθ+1=0，
∴直線C₁的直角坐標(biāo)方程為x-y+1=0；
∵曲線C₂的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+2cosα}\\{y=\sqrt{3}+2sinα}\end{array}\right.$（α為參數(shù)），
∴普通方程為（x+1）²+（y-$\sqrt{3}$）²=4，
∴圓C₂的圓心的直角坐標(biāo)為（-1，$\sqrt{3}$），極坐標(biāo)（2，$\frac{2π}{3}$）；
（2）設(shè)直線C₁和圓C₂的交點(diǎn)為A，B，（-1，$\sqrt{3}$）到直線x-y+1=0的距離d=$\frac{|-1-\sqrt{3}+1|}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$，
∴線段AB的長(zhǎng)2$\sqrt{4-\frac{3}{2}}$=$\sqrt{10}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓的極坐標(biāo)方程、參數(shù)方程、點(diǎn)到直線的距離公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．