Question

（本小題滿分14分）

若一個數(shù)列各項取倒數(shù)后按原來的順序構成等差數(shù)列，則稱這個數(shù)列為調和數(shù)列．已知數(shù)列是調和數(shù)列，對于各項都是正數(shù)的數(shù)列，滿足．

（Ⅰ）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；

（Ⅱ）把數(shù)列中所有項按如圖所示的規(guī)律排成一個三角形數(shù)表，

當時，求第行各數(shù)的和；

（Ⅲ）對于（Ⅱ）中的數(shù)列，若數(shù)列滿足

，求證：數(shù)列為等差數(shù)列.

 

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）證明：因為，且數(shù)列中各項都是正數(shù)，

所以 ．

設，                ①

因為數(shù)列是調和數(shù)列，故，．

所以．                                  ②

由①得，

代入②式得，即.

故. 所以數(shù)列是等比數(shù)列．    ………………………………5分

（Ⅱ）設的公比為，則，即．由于，故．

于是．

注意到第行共有個數(shù)，

所以三角形數(shù)表中第1行至第行共含有個數(shù).

因此第行第1個數(shù)是數(shù)列中的第項.

故第行第1個數(shù)是，

所以第行各數(shù)的和為．  …………10分

（Ⅲ）由 ，得，

即，所以，         ①

                         ②

②—① 得 ，

即，   ③

，   ④

④-③ 得 ，即.

所以為等差數(shù)列．           ………………………………………………14分

【解析】略