Question

已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F₁、F₂在坐標(biāo)軸上，離心率為

2

且過點(diǎn)（4，-

10

）
（Ⅰ）求雙曲線方程；
（Ⅱ）若點(diǎn)M（3，m）在雙曲線上，求證：點(diǎn)M在以F₁F₂為直徑的圓上；
（Ⅲ）由（Ⅱ）的條件，求△F₁MF₂的面積．

Answer 1

分析：（1）雙曲線方程為x²-y²=λ，點(diǎn)代入求出參數(shù)λ的值，從而求出雙曲線方程，
（2）先求出

MF1

•

MF2

的解析式，把點(diǎn)M（3，m）代入雙曲線，可得出

MF1

•

MF2

=0，即可證明．
（3）求出三角形的高，即m的值，可得其面積．

解答：解：（Ⅰ）∵離心率e=

2

∴設(shè)所求雙曲線方程為x²-y²=λ（λ≠0）
則由點(diǎn)（4，-

10

）在雙曲線上
知λ=4²-（-

10

）²=6
∴雙曲線方程為x²-y²=6
（Ⅱ）若點(diǎn)M（3，m）在雙曲線上
則3²-m²=6∴m²=3
由雙曲線x²-y²=6知F₁（2

3

，0），F(xiàn)₂（-2

3

，0）
∴

MF1

•

MF2

=(2

3?

-3，-m)•(-2

3?

-3，-m)=m2-(2

3?

)2+9=0
∴

MF1

⊥

MF2

，故點(diǎn)M在以F₁F₂為直徑的圓上．
（Ⅲ）S_△F1MF2=

1

2

×2C×|M|=C|M|=2

3

×

3

=6

點(diǎn)評：本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用．解答的關(guān)鍵是對雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的理解和向量運(yùn)算的應(yīng)用．