Question

已知等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)的和為60，且a₁，a₆，a₂₁成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n滿(mǎn)足S_n+1-S_n=a_n（n∈N^*），且b₁=5，求S_n及數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析：（1）設(shè)出等差數(shù)列的公差為d，由等差數(shù)列{a_n}的前6項(xiàng)和為60，且a₆為a₁和a₂₁的等比中項(xiàng)，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)及前n項(xiàng)和公式列出關(guān)于a₁和d的方程組，求出方程組的解即可得到a₁和d的值，進(jìn)而寫(xiě)出通項(xiàng)公式a_n及前n項(xiàng)和S_n．
（2）法1，利用累加法先求出數(shù)列{S_n}的通項(xiàng)公式，再求出數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式，
法2，由S_n+1-S_n=a_n=b_n+1，先求出數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式，再求S_n．

解答：解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，則
則

6a1+15d=60 a1(a1+20d)=(a1+5d)2

解得

d=2 a1=5.

或

d=0 a1=10

∴a_n=2n+3．或a_n=10．
（2）當(dāng)a_n=2n+3時(shí)，
∵S_n+1-S_n=a_n
∴當(dāng)n≥2時(shí)S_n-S_n-1=a_n-1
S_n-1-S_n-2=a_n-2
…
S₃-S₂=a₂
S₂-S₁=a₁
∴S_n=S₁+a₁+a₂+…+a_n-1
=5+

[5+2(n-1)+3](n-1)

2

=n²+2n+2．
又S₁=b₁=5也適合上式，所以∴S_n=n²+2n+2
∵當(dāng)n≥2時(shí)，b_n=S_n-S_n-1=2n+1，
b₁=5不適合上式，
所以bn=

5     n=1 2n+1  n≥2

當(dāng)a_n=10時(shí)，數(shù)列{S_n}是以5為首項(xiàng)，以10為公差的等差數(shù)列，得出S_n=5+10（n-1）=10n-5
當(dāng)n≥2時(shí)b_n=S_n-S_n-1=10，b₁=5不適合上式
∴bn=

5     n=1 10   n≥2

．
另解（2）由S_n+1-S_n=a_n=b_n+1
a_n=2n+3時(shí)，b_n+1=2n+3=2（n+1）+1
當(dāng)n≥2時(shí)b_n=2n+1，b₁=5
所以bn=

5     n=1 2n+1  n≥2

當(dāng)n≥2時(shí)，Sn=5+

[5+(2n+1)](n-1)

2

=n²+2n+2．
S₁=b₁=5也適合上式，所以∴S_n=n²+2n+2
當(dāng)a_n=10時(shí)，b_n+1=a_n=10，又b₁=5
∴bn=

5     n=1 10   n≥2

．
S_n=5+10（n-1）=10n-5

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義、性質(zhì)、判定以及通項(xiàng)公式求解，數(shù)列求和．考查分類(lèi)討論、轉(zhuǎn)化、計(jì)算等能力．