Question

已知函數(shù)（，為常數(shù)），且為的一個(gè)極值點(diǎn)．

(Ⅰ) 求的值；

(Ⅱ) 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

(Ⅲ) 若函數(shù)有3個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

解： (Ⅰ) 函數(shù)f (x)的定義域?yàn)椋?，+∞）……1分

 ∵ f ′ (x) =              ……….2分

∴，則a = 1．……….4分 

(Ⅱ)由(Ⅰ) 知

∴ f ′ (x) =   ………6分 

由f ′ (x) > 0可得x >2或x <1，由f ′ (x) < 0可得1< x <2．

∴ 函數(shù)f ( x ) 的單調(diào)遞增區(qū)間為 (0 ，1) 和 (2，+ ∞ )，

單調(diào)遞減區(qū)間為 (1 , 2 )．                    …9分

(Ⅲ) 由(Ⅱ)可知函數(shù)f (x)在(0，1)單調(diào)遞增，在(1，2)單調(diào)遞減，在(2，+∞)單調(diào)遞增．

且當(dāng)x =1或x =2時(shí)，f ′ (x) = 0．                         

∴ f (x) 的極大值為        …10分       

f (x)的極小值為    

由題意可知 

則                              ………11分

【解析】本試題主要考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運(yùn)用，利用導(dǎo)數(shù)來判定函數(shù)的單調(diào)性，以及函數(shù)的零點(diǎn)的綜合運(yùn)用。

（1）函數(shù)f (x)的定義域?yàn)椋?，+∞） ∵ f ′ (x) = 

∴，則a = 1

（2）由(Ⅰ) 知

    ∴ f ′ (x) =解二次不等式得到單調(diào)區(qū)間。

（3）由(Ⅱ)可知函數(shù)f (x)在(0，1)單調(diào)遞增，在(1，2)單調(diào)遞減，在(2，+∞)單調(diào)遞增．

且當(dāng)x =1或x =2時(shí)，f ′ (x) = 0。