Question

【題目】已知函數(shù)，其中.

（1）設(shè)是函數(shù)的極值點(diǎn)，討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）若有兩個(gè)不同的零點(diǎn)和，且，

（i）求參數(shù)的取值范圍；

（ii）求證：.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）（i），（ii）見(jiàn)解析.

【解析】

（1）求函數(shù)導(dǎo)數(shù)，由可得解，進(jìn)而得單調(diào)區(qū)間；

（2）（i）分析函數(shù)導(dǎo)數(shù)可得函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合，所以，可得解；

（ii）先證當(dāng)時(shí)，若，得存在，進(jìn)而證，再證時(shí)，，可得，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性即可證得.

（1），

若是函數(shù)的極值點(diǎn)，則，得，經(jīng)檢驗(yàn)滿足題意，

此時(shí)，為增函數(shù)，

所以當(dāng)，單調(diào)遞減；

當(dāng)，單調(diào)遞增

（2）（i）， ，

記，則，

知在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增.

又∵， ，

∴在區(qū)間內(nèi)存在唯一的零點(diǎn)，

即，于是， .

當(dāng)時(shí)， 單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)， 單調(diào)遞增.

若有兩個(gè)不同的零點(diǎn)和，且，

易知，所以，解得.

（ii）當(dāng)時(shí)有，令.

由（i）中的單調(diào)性知，存在，當(dāng).

，所以.

下證當(dāng)時(shí)，.

由，

所以，

由（i）知，當(dāng)，得..

所以，令

要證，即證.

令單調(diào)遞增，且，

所以單調(diào)遞增，所以.得證.