Question

3．已知拋物線C：y²=8x，點P為拋物線上任意一點，過點P向圓D：x²+y²-4x+3=0作切線，切點分別為A，B，則四邊形PADB面積的最小值為$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 設P（x，y），D為拋物線的焦點，故而PD=x+2，利用勾股定理求出PA，得出四邊形面積關于x的函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質及x的范圍得出面積的最小值．

解答 解：圓D的圓心為D（2，0），半徑為r=DA=1，與拋物線的焦點重合．
拋物線的準線方程為x=-2．
設P（x，y），
則由拋物線的定義可知PD=PM=x+2，
∵PA為圓D的切線，
∴PA⊥AD，
∴PA=$\sqrt{P{D}^{2}-A{D}^{2}}$=$\sqrt{（x+2）^{2}-1}$
=$\sqrt{{x}^{2}+2x+3}$．
∴S_{四邊形PADB}=2S_△PAD=2×$\frac{1}{2}$×AD×PA
=$\sqrt{{x}^{2}+2x+3}$．
∵x≥0，∴當x=0時，S_{四邊形PADB}取得最小值$\sqrt{3}$．
故答案為：$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了拋物線的性質，圓的切線的性質，屬于中檔題．