Question

某校同學(xué)設(shè)計一個如圖所示的“蝴蝶形圖案（陰影區(qū)域）”，其中AC、BD是過拋物線Γ焦點F的兩條弦，且其焦點F（0，1），

AC

•

BD

=0，點E為y軸上一點，記∠EFA=α，其中α為銳角．
（1）求拋物線Γ方程；
（2）求證：|AF|=

2(cosα+1)

sin2α

．

Answer 1

分析：（1）設(shè)出拋物線Γ的標(biāo)準(zhǔn)方程，由焦點坐標(biāo)算出焦參數(shù)p=2，可得拋物線Γ的方程；
（2）過點A作AK⊥y軸于點K，設(shè)|AF|=m，在Rt△AFK中利用三角函數(shù)的定義算出|AK|=msinα且|FK|=mcosα，可得點A的坐標(biāo)為（-msinα，1+mcosα），代入拋物線Γ的方程得到關(guān)于m、α的等式，將其看作是關(guān)于m的一元二次方程，利用求根公式加以計算可得m=

2(cosα+1)

sin2α

，即|AF|=

2(cosα+1)

sin2α

成立．

解答：解：（1）設(shè)拋物線Γ的方程為x²=2py（P＞0），
∵拋物線Γ焦點為F（0，1），∴

p

2

=1，解得p=2，
因此，拋物線Γ的方程為x²=4y；
（2）過點A作AK⊥y軸于點K，設(shè)|AF|=m，
則Rt△AFK中，∠KFA=α，可得sinα=

|AK|

|AF|

，cosα=

|FK|

|AF|

，
可得|AK|=|AF|sinα=msinα，|FK|=|AF|cosα=mcosα，
由此可得點A的坐標(biāo)為（-msinα，1+mcosα）
∵點A為拋物線x²=4y上的點，∴（-msinα）²=4（1+mcosα），
整理得m²sin²α-4mcosα-4=0．將其看作是關(guān)于m的一元二次方程，
解得m=

4cosα± 16cos2α +16sin2α

2sin2α

=

4cosα±4

2sin2α

=

2cosα±2

sin2α

．
∵α為銳角，可得cosα＜1，且m＞0．
∴m=

2cosα-2

sin2α

＜0不符合題意，得m=

2cosα+2

sin2α

=

2(cosα+1)

sin2α

即：|AF|=

2(cosα+1)

sin2α

成立．

點評：本題已知拋物線的焦點坐標(biāo)，求拋物線的方程并證明關(guān)于線段AF長的一個等式．著重考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、直角三角形中三角函數(shù)的定義與一元二次方程根的求法等知識，屬于中檔題．