已知頂點為原點O的拋物線的焦點與橢圓的右焦點重合

與在第一和第四象限的交點分別為A、B．

(1) 若△AOB是邊長為的正三角形，求拋物線的方程；

(2)若，求橢圓的離心率；

(3) 點為橢圓上的任一點，若直線、分別與軸交于點和，證明：

．


 解：（1）設(shè)橢圓的右焦點為，依題意得拋物線的方程為

 ∵△是邊長為的正三角形，

∴點A的坐標(biāo)是，                                      

代入拋物線的方程解得，

故所求拋物線的方程為                                  

（2）∵, ∴ 點的橫坐標(biāo)是

代入橢圓方程解得，即點的坐標(biāo)是             

∵ 點在拋物線上，

∴，                                   

將代入上式整理得：，

即，解得                             

∵ ，故所求橢圓的離心率。             

（3）證明：設(shè)，代入橢圓方程得

                                     

而直線的方程為       

令得。                                

在中，以代換得         

∴

                           …


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.                 .    

.                 .

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