Question

6．若曲線C滿足下列兩個條件：
（i）存在直線m在點P（x₀，y₀）處與曲線C相切；
（ii）曲線C在點P附近位于直線m的兩側．則稱點P為曲線C的“相似拐點”．
下列命題不正確的是（　�。�

• A． 點P（0，0）為曲線C：y=x³的“相似拐點”
• B． 點P（0，0）為曲線C：y=sinx的“相似拐點”
• C． 點P（0，0）為曲線C：y=tanx的“相似拐點”
• D． 點P（1，0）為曲線C：y=lnx的“相似拐點”

Answer 1

分析 分別求出每一個命題中曲線C的導數(shù)，得到曲線在點P處的導數(shù)值，求出曲線在點P處的切線方程，再由曲線在點P兩側的函數(shù)值與對應直線上點的值的大小判斷是否滿足（ii），可判斷出選項是否符合題意．

解答 解：A，由y=x³得y′=3x²，則y′|_x=0=0，直線y=0是過點P（0，0）的曲線C的切線，
又當x＞0時y＞0，當x＜0時y＜0，滿足曲線C在P（0，0）附近位于直線y=0兩側，A不符合題意；
B、由y=sinx得y′=cosx，則y′|_x=π=-1，直線y=-x+π是過點P（0，0）的曲線的切線，
又x∈（-$\frac{π}{2}$，0）時x＜sinx，x∈（0，$\frac{π}{2}$）時x＞sinx，
滿足曲線C在P（0，0）附近位于直線y=-x+π兩側，B不符合題意；
C、由y=tanx得y′=sec²x，則y′|_x=0=1，直線y=x是過點P（0，0）的曲線的切線，
又x∈（-$\frac{π}{2}$，0）時x＞tanx，x∈（0，$\frac{π}{2}$）時x＜tanx，
滿足曲線C在P（0，0）附近位于直線y=x兩側，C不符合題意；
D、由y=lnx得y′=$\frac{1}{x}$，則y′|_x=1=1，曲線在P（1，0）處的切線為y=x-1，
由g（x）=x-1-lnx，得g′（x）=1-$\frac{1}{x}$，
當x∈（0，1）時，g′（x）＜0，當x∈（1，+∞）時，g′（x）＞0．
則g（x）在（0，+∞）上有極小值也是最小值，為g（1）=0．
即y=x-1恒在y=lnx的上方，不滿足曲線C在點P附近位于直線l的兩側，D符合題意，
故選：D．

點評 本題考查了利用導數(shù)研究過曲線上某點處的切線方程，綜合考查導數(shù)的應用：求單調區(qū)間和極值、最值，同時考查新定義的理解，屬于中檔題和易錯題．