Question

1．如圖所示，設(shè)計一個四棱錐形冷水塔塔頂，四棱錐的底面是正方形，側(cè)面是全等的等腰三角形，已知底面邊長為2m，高為$\sqrt{7}$m，求證：
（1）制造這個塔頂需要多少鐵板；       
（2）求該鐵塔的體積．

Answer 1

分析 （1）連接AC和BD交于O，連接SO．作SP⊥AB，連接OP．在Rt△SOP中，SO=$\sqrt{7}$（m），OP=$\frac{1}{2}$BC=1，所以SP=2$\sqrt{2}$，由此能求出制造這個塔頂需要多少鐵板．
（2）利用棱錐的體積公式，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）如圖所示，連接AC和BD交于O，連接SO．作SP⊥AB，連接OP．
在Rt△SOP中，SO=$\sqrt{7}$（m），OP=$\frac{1}{2}$BC=1（m），
所以SP=2$\sqrt{2}$（m），
則△SAB的面積是$\frac{1}{2}$×2×2$\sqrt{2}$=2$\sqrt{2}$（m²）．
所以四棱錐的側(cè)面積是4×2$\sqrt{2}$=8$\sqrt{2}$（m²），
即制造這個塔頂需要8$\sqrt{2}$m²鐵板．
（2）鐵塔的體積V=$\frac{1}{3}×2×2×\sqrt{7}$=$\frac{4\sqrt{7}}{3}$m³．

點評 本題考查四棱錐的側(cè)面積、體積的應(yīng)用，考查空間思維能力和空間想象能力，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．