Question

已知曲線的方程為：（，為常數(shù)）.

（1）判斷曲線的形狀；

（2）設(shè)曲線分別與軸、軸交于點(diǎn)、（、不同于原點(diǎn)），試判斷的面積是否為定值？并證明你的判斷；

（3）設(shè)直線與曲線交于不同的兩點(diǎn)、，且，求曲線的方程.

 

Answer 1

（1）圓；（2）詳見解析；（3）.

【解析】

試題分析：（1）在曲線的方程兩邊同時(shí)除以，并進(jìn)行配方得到，從而得到曲線的具體形狀；（2）在曲線的方程中分別令與求出點(diǎn)、的坐標(biāo)，再驗(yàn)證的面積是否為定值；（3）根據(jù)條件得到圓心在線段的垂直平分線上，并且得到圓心與原點(diǎn)的連線與直線垂直，利用兩條直線斜率乘積為，求出值，并利用直線與圓相交作為檢驗(yàn)條件，從而確定曲線的方程.

試題解析：（1）將曲線的方程化為，

可知曲線是以點(diǎn)為圓心，以為半徑的圓；

（2）的面積為定值.

證明如下：

在曲線的方程中令得，得點(diǎn)，

在曲線方程中令得，得點(diǎn)，

（定值）；

（3）圓過坐標(biāo)原點(diǎn)，且，

圓心在的垂直平分線上，，，

當(dāng)時(shí)，圓心坐標(biāo)為，圓的半徑為，

圓心到直線的距離，

直線與圓相離，不合題意舍去，

，這時(shí)曲線的方程為.

考點(diǎn)：1.圓的方程；2.三角形的面積；3.直線與圓的位置關(guān)系.