Question

設拋物線C的方程為x²=8y，M為直線l：y=-m（m＞0）上任意一點，過M作拋物線C的兩條切線MA，MB，切點分別為A，B．
（Ⅰ）當M的坐標為（0，-2）時，求過M，A，B三點的圓的標準方程，并判斷直線l與此圓的位置關系；
（Ⅱ）當m變化時，試探究直線l上是否存在點M，使MA⊥MB？若存在，有幾個這樣的點？若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）設過M的切線的方程為y=kx-2，聯(lián)立

x2=8y y=kx-2

，得x²-8kx+16=0，由△=0，得k=±1，從而MA⊥MB，點M到直線AB的距離為4，由此推導出圓與直線l：y=-2相切．
（Ⅱ）設切點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線l上的點為M（x₀，y₀），過拋物線上點A（x₁，y₁）的切線方程為y-y₁=k（x-x₁），由導數(shù)的幾何意義求出過拋物線上點A（x₁，y₁）的切線方程為y-y1=

x1

4

(x-x1)，過點B（x₂，y₂）的切線方程為x22-2x0x2+8y0=0，由此推導出當m=2時，直線l上存在無窮多個點M，使MA⊥MB，當m≠2時，直線l上不存在滿足條件的點M．

解答： 解：（Ⅰ）當M的坐標為（0，-2）時，設過M的切線的方程為y=kx-2，
聯(lián)立

x2=8y y=kx-2

，整理，得x²-8kx+16=0，①
令△=（-8k）²-4×16=0，解得k=±1，
∴MA⊥MB，
將k=±1代入方程①得x=±4，
∴A（4，2），B（-4，2），
∴點M到直線AB的距離為4，
過M，A，B三點的圓的圓心為F（0，2），r=4，
∴圓的標準方程為x²+（y-2）²=16，
又圓心（0，2）到直線l：y=-2的距離d=4-r，
∴圓與直線l：y=-2相切．
（Ⅱ）設切點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線l上的點為M（x₀，y₀），
過拋物線上點A（x₁，y₁）的切線方程為y-y₁=k（x-x₁），
∵y′=

1

4

x，∴kMA=y′|x=x1=

1

4

x1，
從而過拋物線上點A（x₁，y₁）的切線方程為y-y1=

x1

4

(x-x1)，
又切線過M（x₀，y₀），
∴y0=

x1

4

x0-

x12

8

，即x12-2x0x1+8y0=0，
同理，得過點B（x₂，y₂）的切線方程為x22-2x0x2+8y0=0，
∵kMA=

x1

4

，kMB=

x2

4

，且x₁，x₂是方程x²-2x₀x+8y₀=0的兩實根，
∴x₁x₂=8y₀，∴k_MA•k_MB=

x1

4

•

x2

4

=

y0

2

，
當y₀=-2時，即m=2時，對直線l上任意點M均MA⊥MB，
當y₀≠-2時，即m≠2，MA與MB不垂直，
綜上所述，當m=2時，直線l上存在無窮多個點M，使MA⊥MB，
當m≠2時，直線l上不存在滿足條件的點M．

點評：本題考查圓的標準方程的求法，考查直線與圓的位置關系的判斷，考查滿足直線垂直的點的個數(shù)的判斷，解題時要認真審題，注意導數(shù)的幾何意義的合理運用．