Question

已知函數f（x）=mx+lnx，其中m為常數，e為自然對數的底數．
（1）當m=-1時，求f（x）的最大值；
（2）若f（x）在區(qū)間（0，e]上的最大值為-3，求m的值．

Answer 1

考點：利用導數求閉區(qū)間上函數的最值,利用導數研究函數的單調性

專題：導數的綜合應用

分析：（1）m=-1時，f（x）=-x+lnx，（x＞0），先求出f′（x）=-1+

1

x

，從而得出函數的單調區(qū)間，進而求出函數的最大值；
（2）先求出f′（x）=m+

1

x

，再討論①m≥0，②m＜0時的情況，從而求出參數m的值．

解答： 解：（1）m=-1時，f（x）=-x+lnx，（x＞0），
∴f′（x）=-1+

1

x

，
令f′（x）＞0，解得：0＜x＜1，
令f′（x）＜0，解得：x＞1，
∴f（x）在（0，1）遞增，在（1，+∞）遞減，
∴f（x）_最大值=f（1）=-1，
（2）∵f′（x）=m+

1

x

，
①m≥0時，f′（x）＞0恒成立，f（x）在（0，e]遞增，
∴f（x）_最大值=f（e）=me+1=-3，解得：m=-

4

e

．不合題意，
②m＜0時，令f′（x）=0，解得：x=-

1

m

，
若-

1

m

≥e，則f′（x）≥0恒成立，f（x）在（0，e]遞增，
∴f（x）_最大值=f（e）=me+1=-3，解得：m=-

4

e

．不合題意，
若-

1

m

＜e，此時f′（x）＞0在（0，-

1

m

）上成立，
f′（x）＜0在（-

1

m

，e]上成立，
此時f（x）在（0，e]先增后減，
∴f（x）_max=f（-

1

m

）=-1+ln（-

1

m

）=-3，
∴m=-e²，符合題意，
∴m=-e²．

點評：本題考查了函數的單調性，函數的最值問題，考查導數的應用，分類討論思想，是一道綜合題．