Question

已知橢圓C：

x2

4

+

y2

3

=1，若橢圓C上存在關(guān)于直線l：y=4x+m對稱的不同兩點(diǎn)，試確定m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：根據(jù)對稱性可知線段AB被直線y=4x+m垂直平分，從而可得直線AB的斜率k=-

1

4

，直線AB與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)，且AB的中點(diǎn)M在直線y=4x+m，可設(shè)直線AB 的方程為y=-

1

4

x+b，聯(lián)立方程

y=- 1 4 x+b x2 4 + y2 3 =1

，整理可得13x²-8bx+16（b²-3）=0可求中點(diǎn)M，由△=64b²-4×13×16（b²-3）＞0可求b的范圍，由中點(diǎn)M在直線y=4x+m可得m，b 的關(guān)系，從而可求m的范圍

解答： 解：設(shè)橢圓上關(guān)于直線y=4x+m對稱的點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則根據(jù)對稱性可知線段AB被直線y=4x+m垂直平分．
可得直線AB的斜率k=-

1

4

，直線AB與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)，且AB的中點(diǎn)M（x₀，y₀）在直線y=4x+m，
故可設(shè)直線AB 的方程為y=-

1

4

x+b，
聯(lián)系方程

y=- 1 4 x+b x2 4 + y2 3 =1

，
整理可得13x²-8bx+16（b²-3）=0，
所以x1+x2=

8b

13

，y1+y2=-

1

4

（x₁+x₂）+2b=

24b

13

，
由△=64b²-4×13×16（b²-3）＞0可得，-

13

2

＜b＜

13

2

所以x 0=

4b

13

，y0=

12b

13

代入直線y=4x+m可得m=-

4b

13

所以，-

2 13

13

＜m＜

2 13

13

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用已知中的對稱性設(shè)出直線方程，且由中點(diǎn)在y=4x+m上建立m，b之間的關(guān)系，還要注意方程的根與系數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用．