Question

 (1) 以極坐標(biāo)系Ox的極點(diǎn)O為原點(diǎn)、極軸Ox為x軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系xOy,并在兩種坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度單位.將極坐標(biāo)方程cos θ+ρ2sin θ=1化成直角坐標(biāo)方程;

(2) 已知曲線C:(θ為參數(shù)),過(guò)點(diǎn)P(2,1)的直線與曲線C交于A,B兩點(diǎn).若PA·PB=,求AB的值.

Answer 1

 (1) 極坐標(biāo)方程兩邊同乘以ρ得ρcos θ+ρ3sin θ=ρ.

又在直角坐標(biāo)系下,ρcos θ=x,ρsin θ=y,ρ2=x2+y2,故化成直角坐標(biāo)方程為x+y(x2+y2)=.

又(0,0)滿(mǎn)足原極坐標(biāo)方程,

故所求的直角坐標(biāo)方程為x+y(x2+y2)=.

(2) 由題意,曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2+2y2=2.

設(shè)過(guò)點(diǎn)P(2,1),傾斜角為α的直線的參數(shù)方程為

(t為參數(shù)).

點(diǎn)A,B對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1,t2.

將直線的參數(shù)方程代入x2+2y2=2,得

(2+tcos α)2+2(1+tsin α)2-2=0,

即(1+sin2α)t2+4(sin α+cos α)t+4=0,

則Δ=16(2sin αcos α-sin2 α)>0,

且t1+t2=-,t1t2=,

由PA·PB=,得|t1t2|==.

故sin2 α=.又由Δ>0,得0<tan α<2.

故t1+t2=-,t1t2=.

所以AB=|t1-t2|==.