Question

已知等比數(shù)列{a_n}滿足2a₁+a₃=3a₂，且a₃+2是a₂，a₄的等差中項(xiàng)．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若bn=an+log2

1

an

，S_n=b₁+b₂+…b_n，求使 Sn-2n+1+47＜0 成立的正整數(shù)n的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為a₁，公比為q，根據(jù)2a₁+a₃=3a₂，且a₃+2是a₂，a₄的等差中項(xiàng)，建立方程組，從而可求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ） bn=an+log2

1

an

=2ⁿ-n，求出S_n=b₁+b₂+…b_n，再利用Sn-2n+1+47＜0，建立不等式，即可求得使Sn-2n+1+47＜0成立的正整數(shù)n的最小值．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為a₁，公比為q，
依題意，∵2a₁+a₃=3a₂，且a₃+2是a₂，a₄的等差中項(xiàng)
∴

a1(2+q2)=3a1q① a1(q+q3)=2a1q2+4②

由 ①得 q²-3q+2=0，解得q=1或q=2．
當(dāng)q=1時(shí)，不合題意舍；
當(dāng)q=2時(shí)，代入（2）得a₁=2，所以a_n=2ⁿ．…．…（6分）
（Ⅱ） bn=an+log2

1

an

=2ⁿ-n．…．…（7分）
所以S_n=b₁+b₂+…b_n=（2+2²++2ⁿ）-（1+2+…+n）=2ⁿ⁺¹-2-

1

2

n-

1

2

n² …．…（10分）
因?yàn)?nbsp;Sn-2n+1+47＜0，所以2ⁿ⁺¹-2-

1

2

n-

1

2

n²-2ⁿ⁺¹+47＜0，
即n²+n-90＞0，解得n＞9或n＜-10．…．…（12分）
故使Sn-2n+1+47＜0成立的正整數(shù)n的最小值為10．…．（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)，考查數(shù)列的通項(xiàng)與求和，考查解不等式，解題的關(guān)鍵是確定數(shù)列的通項(xiàng)與和，屬于中檔題．