Question

20．已知中心是原點、焦點在y軸上的橢圓C長軸長為4，且橢圓C過點P（1，$\sqrt{2}$），
（1）求此橢圓的方程；
（2）過點P作傾斜角互補的兩條直線PA、PB，分別交橢圓C于A、B兩點．求直線AB的斜率．

Answer 1

分析 （1）由題意設橢圓的標準方程為：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），可得$\left\{\begin{array}{l}{2a=4}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\\{\frac{2}{{a}^{2}}+\frac{1}{^{2}}=1}\end{array}\right.$，解出即可得出；
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），設PA的方程為y-$\sqrt{2}$=k（x-1），代入橢圓方程化簡得：（k²+2）x²-2k$（k-\sqrt{2}）$x+${k}^{2}-2\sqrt{2}k$-2=0，
顯然1與x₁是這個方程的兩解，可得x₁，y₁，用-k代替x₁，y₁中的k，得x₂，y₂．再利用斜率計算公式即可得出．

解答 解：（1）由題意設橢圓的標準方程為：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），可得$\left\{\begin{array}{l}{2a=4}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\\{\frac{2}{{a}^{2}}+\frac{1}{^{2}}=1}\end{array}\right.$，解得a=2，b²=2=c²．
設此橢圓的方程為：$\frac{{y}^{2}}{4}+\frac{{x}^{2}}{2}=1$．
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），設PA的方程為y-$\sqrt{2}$=k（x-1），代入橢圓方程化簡得：（k²+2）x²-2k$（k-\sqrt{2}）$x+${k}^{2}-2\sqrt{2}k$-2=0，
顯然1與x₁是這個方程的兩解，
∴x₁=$\frac{{k}^{2}-2\sqrt{2}k-2}{{k}^{2}+2}$，y₁=$\frac{-\sqrt{2}{k}^{2}-4k+2\sqrt{2}}{{k}^{2}+2}$，
用-k代替x₁，y₁中的k，得x₂=$\frac{{k}^{2}+2\sqrt{2}k-2}{{k}^{2}+2}$，${y}_{2}=\frac{-\sqrt{2}{k}^{2}+4k+2\sqrt{2}}{{k}^{2}+2}$．
∴$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質、直線與橢圓相交問題、斜率計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．