Question

（2013•茂名二模）已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），一條直線λx-y-2λ=0（λ∈R）．所經(jīng)過的定點(diǎn)恰好是橢圓的一個定點(diǎn)，且橢圓的離心率為

1

2

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）已知圓O：x²+y²=r²（b＜r＜a），若另一條直線與橢圓C只有一個公共點(diǎn)M，且直線與圓O相切于點(diǎn)N，求|MN|的最大值．

Answer 1

分析：（I）由已知直線可得y=λ（x-2），結(jié)合直線方程的點(diǎn)斜式可求直線經(jīng)過的定點(diǎn)，即可求解a，由離心率e=

1

2

=

c

a

可求c，結(jié)合b²=a²-c²可求b，從而可求橢圓方程
（2）由題意可設(shè)直線l的方程為y=kx+t，由直線l與圓O相切可得r，t與k的關(guān)系式，然后聯(lián)立直線與橢圓方程，由直線與橢圓C只有一個公共點(diǎn)可得k，t的關(guān)系，結(jié)合方程的根與系數(shù)關(guān)系及由ON⊥MN，利用勾股定理可得MN²=OM²-ON²，利用基本不等式即可求解最大值

解答：解：（I）解由λx-y-2λ=0可得y=λ（x-2），則直線經(jīng)過定點(diǎn)（2，0）
∴a=2
由離心率e=

1

2

=

c

a

可知c=1
∴b²=a²-c²
∴橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=1
（2）由題意可知，直線l的斜率顯然存在，設(shè)直線l的方程為y=kx+t
由直線l與圓O相切可得，r=

|t|

1+k2

即t²=r²（1+k²）①
由

x2 4 + y2 3 =1 y=kx+t

可得，（3+4k²）x²+8ktx+4t²-12=0（*）
∵直線與橢圓C只有一個公共點(diǎn)
∴△=（8kt）²-4（3+4k²）（4t²-12）=0
∴t²=3+4k²②
②代入（*）式可得，x_M=

-4kt

3+4k2

=-

4k

t

由ON⊥MN
可得MN²=OM²-ON²=xM2+yM2-r2=

1

4

xM2+3-r2=

4k2

3+4k2

+3-r2③
①②聯(lián)立可得，k2=

r2-3

4-r2

④代入③可得MN2=7-r2-

12

r2

≤7-4

3

=(2-

3

)2
當(dāng)且僅當(dāng)r2=2

3

∈(3，4)時(shí)成立
∴MN的最大值為2-

3

點(diǎn)評：本題主要考查了了利用橢圓的性質(zhì)求解橢圓方程，直線與橢圓相交關(guān)系、相切關(guān)系的應(yīng)用及方程的根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用，本題具有一定的 綜合性