Question

如圖，菱形ABCD中，∠ABC=60°，AE⊥平面ABCD，CF⊥平面ABCD，AB=AE=2，CF=3．
（1）求證：EF⊥平面BDE；
（2）求銳二面角E-BD-F的大�。�

Answer 1

（1）證明：連接AC、BD，設(shè)AC∩BD=O，
∵ABCD為菱形，∴AC⊥BD，
以O(shè)為原點(diǎn)，OA，OB為x．y軸正向，z軸過O且平行于CF，建立空間直角坐標(biāo)系，…（2分）
則，，E（1，0，2），F(xiàn)（-1，0，3），，，，…（4分）
∴，，
∴EF⊥DE，EF⊥BE，又DE∩BE=E，
∴EF⊥平面BDE； …（6分）
（2）由知（1）是平面BDE的一個法向量，設(shè)是平面BDF的一個法向量，
，，
由，得：，取x=3，得z=1，y=0，于是，…（10分）
∴==-，
由于二面角E-BD-F為銳二面角，故其大小為45°． …（12分）
分析：（1）證明連接AC、BD，設(shè)AC∩BD=O，以O(shè)為原點(diǎn)，OA，OB為x．y軸正向，z軸過O且平行于CF，建立空間直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示點(diǎn)與向量，利用向量的數(shù)量積，即可證得EF⊥平面BDE；
（2）由知（1）是平面BDE的一個法向量，求出平面BDF的一個法向量，再利用向量的夾角公式，即可得到二面角E-BD-F的大�。�
點(diǎn)評：本題考查線面垂直，考查面面角，解題的關(guān)鍵是利用空間向量解決立體幾何問題，確定平面的法向量．