Question

13．已知數(shù)列{a_n}滿足：a₁=-2，a₂=1，且a_n+1=-$\frac{1}{2}$（a_n+a_n+2），則{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=$\left\{\begin{array}{l}{-k，n=2k}\\{k-3，n=2k-1}\end{array}\right.$（k∈N^*）．

Answer 1

分析 a_n+1=-$\frac{1}{2}$（a_n+a_n+2），可得a_n+2+a_n+1=-（a_n+1+a_n）．利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得：a_n+1+a_n=（-1）ⁿ．可得a_2k-1+a_2k=-1，a_2k+1+a_2k=1（k∈N^*）．對(duì)n分類討論，即可得出前n項(xiàng)和．

解答 解：∵a_n+1=-$\frac{1}{2}$（a_n+a_n+2），
∴a_n+2+a_n+1=-（a_n+1+a_n）．
∴數(shù)列{a_n+1+a_n}是等比數(shù)列，首項(xiàng)為-1，公比為-1．
∴a_n+1+a_n=（-1）ⁿ．
∴a_2k-1+a_2k=-1，a_2k+1+a_2k=1（k∈N^*）．
∴n=2k時(shí)，{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=S_2k=-k．
n=2k-1時(shí)，{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=-2+（k-1）=k-3．（k=1時(shí)也成立）．
∴，{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=$\left\{\begin{array}{l}{-k，n=2k}\\{k-3，n=2k-1}\end{array}\right.$（k∈N^*）．
故答案為：$\left\{\begin{array}{l}{-k，n=2k}\\{k-3，n=2k-1}\end{array}\right.$（k∈N^*）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、分組求和、分類討論方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．