Question

20．已知：如圖，平面α、β滿(mǎn)足α∥β，A、C∈α，B、D∈β，E∈AB，F(xiàn)∈CD，AC與BD異面，且$\frac{AE}{EB}=\frac{CF}{FD}$．求證：EF∥β

Answer 1

分析 連接AD，作EG∥BD交AD于點(diǎn)G，連接FG；結(jié)合AE：EB=CF：FD可得EG∥β，F(xiàn)G∥α；進(jìn)而得到平面EFG∥β即可證得結(jié)論．

解答 （Ⅰ）證明：連接AD，作EG∥BD交AD于點(diǎn)G，連接FG
∵EG∥BD，
∴$\frac{AE}{EB}=\frac{AG}{GD}$．
又∵$\frac{AE}{EB}=\frac{CF}{FD}$，∴$\frac{AG}{GD}=\frac{CF}{FD}$．
∴FG∥AC，
∴FG∥α，又α∥β，
∴FG∥β；
又因?yàn)镋G∩FG=G．
∴平面EFG∥β，
而EF?平面EFG；
∴EF∥β．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線(xiàn)面平行的判定，當(dāng)理由判定定理不好證明時(shí)可轉(zhuǎn)而證明面面平行，利用面面平行的性質(zhì)得出線(xiàn)面平行．