Question

11．已知等比數(shù)列{a_n}中，a₁=1，且a₂+a₄=3（a₃+1）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設(shè)b_n=log₃a₂+log₃a₃+log₃a₄+…+log₃a_n+1，求數(shù)列{$\frac{1}{_{n}}$}的前n項和．

Answer 1

分析 （1）通過記等比數(shù)列{a_n}的公比為q，利用a₂+a₄=3（a₃+1）化簡可得q=3，進而計算可得結(jié)論；
（2）通過（1）可知log₃a_n+1=n，利用等差數(shù)列的求和公式計算可知b_n=$\frac{n（n+1）}{2}$，進而裂項、并項相加即得結(jié)論．

解答 解：（1）記等比數(shù)列{a_n}的公比為q，則a_n=q^n-1，
∵a₂+a₄=3（a₃+1），
∴q+q³=3（q²+1），即q（q²+1）=3（q²+1），
∴q=3，數(shù)列{a_n}是首項為1、公比為3的等比數(shù)列，
∴其通項公式a_n=3^n-1；
（2）由（1）可知log₃a_n+1=log₃3ⁿ=n，
∴b_n=log₃a₂+log₃a₃+log₃a₄+…+log₃a_n+1
=1+2+3+…+n
=$\frac{n（n+1）}{2}$，
∵$\frac{1}{_{n}}$=$\frac{2}{n（n+1）}$=2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
∴所求值為2（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）=2（1-$\frac{1}{n+1}$）=$\frac{2n}{n+1}$．

點評 本題考查數(shù)列的通項及前n項和，考查裂項相消法，注意解題方法的積累，屬于中檔題．