Question

12．己知直線2x-y-4=0與直線x-2y+1=0交于點p．
（1）求過點p且垂直于直線3x+4y-15=0的直線l₁的方程；（結(jié)果寫成直線方程的一般式）
（2）求過點P并且在兩坐標軸上截距相等的直線l₂方程（結(jié)果寫成直線方程的一般式）

Answer 1

分析 （1）解方程組$\left\{{\begin{array}{l}{2x-y-4=0}\\{x-2y+1=0}\end{array}}\right.$，得P點的坐標為（3，2）．直線3x+4y-15=0斜率為 $-\frac{3}{4}$，可得垂直于直線3x+4y-15=0的直線l₁的斜率為$\frac{4}{3}$，利用點斜式即可得出．
另解：垂直于直線3x+4y-15=0的直線l₁的方程可設(shè)為4x-3y+C=0，又過P（3，2），代入解得C即可得出．
（2）①當所求的直線經(jīng)過原點時，設(shè)方程為y=kx，又過P（3，2），代入即可得出．
②當所求的直線不經(jīng)過原點時，可設(shè)方程為$\frac{x}{a}+\frac{y}{a}=1$，又過P（3，2），得a即可得出．

解答 解：（1）解方程組$\left\{{\begin{array}{l}{2x-y-4=0}\\{x-2y+1=0}\end{array}}\right.$，得P點的坐標為（3，2）…（2分）
直線3x+4y-15=0斜率為 $-\frac{3}{4}$，
則垂直于直線3x+4y-15=0的直線l₁的斜率為 $\frac{4}{3}$，…（4分）
所以直線l₁的方程，$y-2=\frac{4}{3}（x-3）$即4x-3y-6=0．
另解：垂直于直線3x+4y-15=0的直線l₁的方程可設(shè)為4x-3y+C=0，…（4分）
又過P（3，2），∴12-6+C=0，解得C=-6．
所以直線l₁的方程為：4x-3y-6=0．…（6分）
（2）①當所求的直線經(jīng)過原點時，設(shè)方程為y=kx，又過P（3，2），所以直線l₂的方程為2x-3y=0…．…（8分）
②當所求的直線不經(jīng)過原點時，可設(shè)方程為$\frac{x}{a}+\frac{y}{a}=1$，又過P（3，2），得a=5，
所以直線l₂的方程為x+y-5=0…．（11分）
綜上所述，所求的直線l₂的方程為2x-3y=0或x+y-5=0…．（12分）

點評 本題考查了垂直的充要條件、直線的交點、截距式，考查了分類討論方法、推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．