Question

如圖，A、B分別是異面直線(xiàn)a、b上兩點(diǎn)，自AB的中點(diǎn)O作平面α與a、b分別平行，M、N分別是a、b上的任意兩點(diǎn)，MN與α交于點(diǎn)P.

求證：P是MN的中點(diǎn).

Answer 1

【探究】 連結(jié)AN并α于Q，連結(jié)OQ、PQ，∵b∥α,OQ是過(guò)B的平面ABN與α的交線(xiàn)，∴b∥OQ.同理，PQ∥a.在△ABN中，O是AB的中點(diǎn)，OQ∥BN，∴Q是AN的中點(diǎn).又∵PQ∥a,∴P是MN的中點(diǎn).

【規(guī)律總結(jié)】 連結(jié)AN后，形成了兩個(gè)平面，即平面ABN和平面AMN，為利用直線(xiàn)和平面平行的性質(zhì)定理創(chuàng)造了條件，并將空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題.直線(xiàn)和平面平行的性質(zhì)定理，可簡(jiǎn)記為若線(xiàn)面平行，則線(xiàn)線(xiàn)平行.