Question

四棱錐S-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，側(cè)面SBC底面ABCD．已知ABC=45o，AB=2，BC=2，SA=SB=．

(1)證明：SABC；

(2)求直線SD與平面SAB所成角的正弦值．

 

Answer 1

（1）詳見解析，（2）.

【解析】

試題分析：（1）已知條件為面面垂直，因此由面面垂直性質(zhì)定理轉(zhuǎn)化為線面垂直. 作，由側(cè)面底面，得平面.證明線線垂直，有兩個(gè)思路，一是通過線面垂直轉(zhuǎn)化，二是利用空間向量計(jì)算.本題考慮到第二小題，采取空間向量方法. 利用空間向量以算代證，關(guān)鍵正確表示各點(diǎn)及對應(yīng)向量的坐標(biāo)，利用空間向量數(shù)量積進(jìn)行論證.（2）利用空間向量求線面角，關(guān)鍵正確求出平面的一個(gè)法向量，利用兩向量夾角的余弦值的絕對值等于線面角的正弦值的等量關(guān)系進(jìn)行求解.

試題解析：（1）作，垂足為，連結(jié)，

由側(cè)面底面，

得平面 ..2

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111718555281638291/SYS201411171855567539549467_DA/SYS201411171855567539549467_DA.009.png">，所以 3

又，為等腰直角三角形， 4

如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸正向，建立直角坐標(biāo)系.

，，，， 6

，，，所以 8

（2）設(shè)為平面SAB的法向量

則 得 所以

令x=1 10

12

與平面所成的角與與所成的角互余．

所以，直線與平面所成的角正弦值為 13

考點(diǎn)：面面垂直性質(zhì)定理，空間向量求證線線垂直，空間向量求線面角