Question

選修4-1：幾何證明選講
如圖，在△ABC中，BC邊上的點(diǎn)D滿足BD=2DC，以BD為直徑作圓O恰與CA相切于點(diǎn)A，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥CA于點(diǎn)E，BE交圓D于點(diǎn)F．
（I）求∠ABC的度數(shù)：
（ II）求證：BD=4EF．

Answer 1

解：（Ⅰ）連接OA、AD．
∵AC是圓O的切線，OA=OB，
∴OA⊥AC，∠OAB=∠OBA=∠DAC，…（2分）
又AD是Rt△OAC斜邊上的中線，
∴AD=OD=DC=OA，
∴△AOD是等邊三角形，∴∠AOD=60°，
故∠ABC=∠AOD=30°．…（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，
在Rt△AEB中，∠EAB=∠ADB=60°，
∴EA=AB=×BD=BD，
EB=AB=×BD=BD，…（7分）
由切割線定理，得EA²=EF×EB，
∴BD²=EF×BD，
∴BD=4EF．…（10分）
分析：（Ⅰ）連接OA、AD．由AC是圓O的切線，OA=OB，知OA⊥AC，∠OAB=∠OBA=∠DAC，由AD是Rt△OAC斜邊上的中線，知AD=OD=DC=OA，由△AOD是等邊三角形，能求出∠ABC的度數(shù)．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，在Rt△AEB中，∠EAB=∠ADB=60°，由EA=AB=×BD=BD，知EB=AB=×BD=BD，由切割線定理，得EA²=EF×EB，由此能夠證明BD=4EF．
點(diǎn)評(píng)：本題考查弦切角、與圓有關(guān)的比例線段的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．